3.4. Линейно зависимые и линейно независимые функциИ

Пусть имеется система функций , , …, , определенных на некотором интервале .

Функции , , …, , заданные на интервале , называются Линейно зависимыми, если существуют такие числа , , …, , не все равные нулю, что для всех будет

. (3.9)

Пусть для определённости . Тогда из (3.9) имеем

,

То есть – линейная комбинация функций , , …, .

Обратно, пусть

.

Тогда

Для всех рассматриваемых . Значит функции , , …, линейно зависимые.

Итак, система функций является линейно зависимой тогда и только тогда, когда одна из них является линейной комбинацией остальных.

Если же тождество (3.9) имеет место тогда и только тогда, когда , то функции , , …, называются Линейно независимыми.

Пример 3.1. Пусть , , .

Имеем

,

То есть

.

Следовательно, функции , , линейно зависимые на любом интервале .

Пример 3.2. Покажем, что функции 1, , , …, линейно независимы. Для них тождество (3.9) запишется так:

. (3.10)

Но многочлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда равны нулю все его коэффициенты. А значит из (3.10) следует, что , что и требовалось доказать.

< Предыдущая		Следующая >