3.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства

Пусть — оператор, результат применения которого к некоторой раз дифференцируемой функции дается формулой

, (3.4)

Где , , …, , – некоторые функции.

Этот оператор можно записать символически

. (3.5)

Отметим два свойства оператора .

1. Свойство аддитивности. Оператор от суммы функций равен сумме операторов от каждого слагаемого, то есть

.

Действительно,

.

2. Свойство однородности. Постоянный множитель можно выносить за знак оператора, то есть, если , то

.

Имеем:

.

Из этих двух свойств следует, что оператор линейный. Поэтому оператор называется Линейным дифференциальным оператором.

Следовательно, для любой линейной комбинации функций , , …, будет

.

Используя оператор и учитывая равенство (3.4), представим неоднородное линейное дифференциальное уравнение (3.2) в виде

. (3.6)

Однородное линейное дифференциальное уравнение (3.3) примет вид

. (3.7)

Свойство линейности оператора используется для исследования и отыскания решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

< Предыдущая		Следующая >