1.1. Дифференциальные уравнения высших порядков

Будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения порядка выше первого. В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка

(1.1)

Содержит независимую переменную , неизвестную функцию и её производные , , …, . Здесь – заданная функция переменных, причем .

Решением дифференциального уравнения (1.1) называется такая функция независимой переменной , раз дифференцируемая, что при подстановке ее вместо в уравнение (1.1) получается тождество по .

Если уравнение (1.1) может быть разрешено относительно старшей производной , то оно записывается в виде

. (1.2)

Такое уравнение называется Дифференциальным уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Пусть при интегрировании дифференциальных уравнений -го порядка (1.1) или (1.2) получено дифференциальное уравнение порядка вида

, (1.3)

Где – произвольная постоянная. Если уравнение (1.3) имеет все те же решения, что и исходное уравнение, то оно называется Первым интегралом исходного уравнения.

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение второго порядка

. (1.4)

Интегрируя это равенство, имеем уравнение первого порядка

, (1.5)

Где – произвольная постоянная. Это и есть первый интеграл исходного уравнения (1.4). Повторно интегрируя равенство (1.5), получим функцию

, (1.6)

Где – еще одна произвольная постоянная. Это есть общий интеграл дифференциального уравнения (1.4).

Найденная функция (1.6) является решением уравнения (1.4), поскольку при ее подстановке в это уравнение мы получаем тождество .

< Предыдущая		Следующая >