2.3. Линейные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется Линейным Уравнением, если неизвестная функция и её производная входят в это уравнение линейно, то есть уравнение имеет вид

, (2.5)

Где , и – некоторые функции. Если при всех возможных значениях переменной , то уравнение (2.5) можно привести к виду

. (2.6)

Будем полагать, что функции и непрерывны. Функция называется правой частью уравнения. Если , то есть если

, (2.7)

То уравнение называется линейным уравнением без правой части или Однородным линейным уравнением. Здесь однородность понимается не в смысле Эйлера, а в смысле отсутствия свободного члена, то есть слагаемого, не содержащего и . Если же , то уравнение (2.6) Называется неоднородным линейным уравнением.

Для того, чтобы решение уравнения (2.7) не спутывать с решением уравнения (2.6) будем обозначать его . Поэтому уравнение (2.7) перепишем в виде

. (2.8)

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Представим его в виде

Отсюда

, ,

То есть

. (2.9)

Будем искать теперь общее решение неоднородного уравнения (19) в таком же виде, как и общее решение (2.9) соответствующего однородного уравнения (2.8), то есть положим

, (2.10)

Где , в отличие от формулы (2.9), уже не произвольная постоянная, а неизвестная функция. Для её определения продифференцируем равенство (2.10)

Подстановка и в уравнение (2.6) дает

То есть

Отсюда

Найденную функцию остается подставить в (2.10):

Рассмотренный метод интегрирования линейного уравнения (2.6) называется методом вариации произвольной постоянной. Он применим и к исходному уравнению (2.5).

Пример 2.2. Решить дифференциальное уравнение