2.1. Однородные дифференциальные уравнения

Если общее решение дифференциального уравнения представлено в виде квадратур (интегралов) от элементарных функций и функций, входящих в состав дифференциального уравнения, то говорят, что Уравнение проинтегрировано в квадратурах.

Функция называется Однородной функцией степени Относительно переменных и в смысле Эйлера, если при любом допустимом справедливо тождество

Если , то функция называется Однородной функцией нулевой степени. Для функции имеем

Так что это однородная функция нулевой степени.

Дифференциальное уравнение вида называется Однородным Дифференциальным уравнением, если есть однородная функция нулевой степени относительно и .

В этом случае можно положить . Тогда в силу однородности функции и , то есть однородное дифференциальное уравнение примет вид

. (2.1)

Сделаем замену переменной , откуда . Тогда и для уравнения (2.1) имеем

. (2.2)

Преобразуем это уравнение с разделяющимися переменными:

, , .

Получено дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Интегрируя последнее равенство, имеем

Пусть – первообразная подынтегральной функции левой части. Тогда – интеграл дифференциального уравнения (2.2). Следовательно, решение исходного однородного дифференциального уравнения (2.1)