1.5. Общее и частные решения дифференциального уравнения

Рассматривая простейшее дифференциальное уравнение (1.6) и уравнения с разделяющимися переменными вида (1.8), мы получили для них решение, которое включает не только переменные и , но и произвольную постоянную . То есть, решение этих уравнений можно представить в виде:

. (1.12)

Этот факт имеет место для всех уравнений первого порядка вида (1.4) или (1.5). Решение уравнения первого порядка, содержащее произвольную постоянную , называется Общим решением дифференциального уравнения.

При конкретном значении произвольной постоянной получим Частное решение дифференциального уравнения:

. (1.13)

Изменяя значение , будем получать различные частные решения. Таким образом, общее решение (1.12) является множеством всех частных решений вида (1.13). Для нахождения из общего решения конкретного частного решения задают начальное условие вида (1.7)

или ,

Где и – некоторые числа.

Если общее решение известно, то чтобы определить частное решение аналитически, необходимо подставить начальное условие в общее решение (1.12)

.

Из полученного уравнения необходимо вычислить значение произвольной постоянной . Если это возможно, то, подставляя найденное значение в общее решение (1.12), получим то частное решение, которое удовлетворяет начальному условию

.

С геометрической точки зрения общее решение (1.16) представляет собой семейство интегральных кривых. Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, значит выделить из множества интегральных кривых ту кривую, которая проходит через точку .

Пример 1.2. Легко показать, что для дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Общее решение имеет вид

.

Геометрически оно представляет семейство гипербол. Зададим начальное условие

.

Подставим начальное условие в общее решение

.

Отсюда , а значит искомое частное решение

.

Зададим теперь начальное условие

.

Получим

,

Откуда видно, что соответствующее значение найти нельзя. Такое начальное условие не является допустимым. Действительно, через точку не проходит ни одна из интегральных гипербол.

< Предыдущая		Следующая >