09.4. Натуральное уравнение гладкой кривой и уравнение нормальной плоскости

Пусть кривая гладкая кривая. В силу теоремы 2 переменная длина дуги , отсчитываемая от начала кривой , является строго возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией с производной, положительной во всех точках отрезка : . Так как и , то обратная функция однозначна, строго возрастает, непрерывно дифференцируема на отрезке . По теореме об обратной функции имеем

Таким образом, для всякой гладкой кривой ее параметр является строго возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией переменной длины , производная этой функции нигде не обращается в нуль.

Следовательно, функция является допустимым преобразованием параметра и уравнение кривой можно записать в виде , .

Если параметром кривой является переменная длина ее дуги , то называется натуральным параметром, а уравнение кривой называется натуральным уравнением кривой.

Теорема 3 Пусть кривая гладкая, a – переменная длина ее дуги. Тогда является единичным касательным к кривой вектором и .

Из теоремы 3 следует, что если , , – углы, образованные вектором касательной к кривой С осями , , соответственно, то.

Нормальной плоскостью к кривой называется плоскость, перпендикулярная касательной прямой и проходящая через точку касания.

Пусть – точка касания (рисунок 9.7). Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости , проходящей через эту точку, имеет вид

Где – нормальный вектор плоскости.

Из определения нормальной плоскости следует, что векторы и коллинеарные, поэтому можно положить , , . Тогда искомое уравнение плоскости будет иметь вид: