09.2. Производная и дифференциал векторной функции

Введем понятие производной вектор-функции , в данной точке . Для этого дадим аргументу приращение и рассмотрим вектор . Составим отношение

.

Если существует предел отношения приращения вектор-функции в точке к приращению скалярного аргумента при , то этот предел называется производной вектор-функции в точке .

Обозначается:

.

Так как

,

То по определению получим

.

Итак, вычисление производных от векторной функции скалярного аргумента в точке сводится к вычислению производных ее координат.

Дифференцируемые векторные функции обладают следующими свойствами:

– если векторная функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке;

– если векторная функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке производную и ;

– векторная функция, имеющая в некоторой точке производную, дифференцируема в этой точке;

– если – дифференцируемая в точке скалярная функция, – дифференцируемая в точке векторная функция, то

;

– для произвольных векторных функций имеют место формулы;

,

,

,

.

– если вектор-функция дифференцируема в точке и векторы имеют одинаковую длину в некоторой окрестности точки , то производная ортогональна вектору :

;

– если вектор-функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в каждой точке этого отрезка, то существует такая точка , что

.

С геометрической точки зрения производная вектор-функции в точке есть вектор , направленный по касательной к годографу этой функции в сторону возрастания параметра .

Механический смысл производной от вектор-функции состоит в том, что есть вектор мгновенной скорости перемещения материальной точки по траектории, являющейся годографом функции.

Производная вектор-функции является, в свою очередь, вектор-функцией скалярного аргумента, и ее также можно дифференцировать.

Производная функции точке называется второй производной вектор-функции по скалярному аргументу в точке и обозначается так: , , , .

Вектор , равный производной скорости по времени в момент , называется ускорением: .

Механический смысл второй производной от вектор-функции состоит в том, что есть вектор ускорения движения материальной точки в данный момент времени .

< Предыдущая		Следующая >