09.1. Годограф векторной функции

Векторной функцией действительного аргумента (вектор-функцией скалярного аргумента) называется отображение, которое каждому действительному числу ставит в соответствие один и только один вектор трехмерного пространства . Обозначается: , .

Вектор имеет определенную длину (модуль) и определенное направление в каждой точке .

Выберем общую точку приложения векторов . При непрерывном изменении аргумента конец вектора описывает некоторую линию . Линия , описываемая в пространстве концом вектора при непрерывном изменении аргумента , называется годографом вектор-функции скалярного аргумента (рисунок 9.1).

Рисунок 9.1 – Годограф вектор-функции

С физической точки зрения годограф вектор-функции можно рассматривать как траекторию движущейся в пространстве материальной точки, а всякую линию , в пространстве как годограф некоторой вектор-функции.

Замечания. 1 Если вектор изменяется только по длине, а его направление остается постоянным, то есть множество связанных векторов, расположенных на луче, выходящем из точки . Годографом такой вектор-функции является луч (рисунок 9.2), если .

Рисунок 9.2 – Годограф вектор-функции,

Изменяющейся только по длине

2 Если при изменении модули векторов не меняются, а изменяется только направление, то векторы из множества будут находиться в шаре радиусом с центром в точке . Годографом такой функции является линия, принадлежащая сфере радиусом (рисунок 9.3).

Рисунок 9.3. – Годограф вектор-функции,

Изменяющейся только по направлению

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат . Тогда задание вектор-функции означает задание координат вектора . Если начало вектора совпадает с точкой , то называется радиусом-вектором точки и обозначается (рисунок 9.4).

Рисунок 9.4 – Радиус-векторы

Любой радиус-вектор пространства задается своими координатами , , (координаты вектора совпадают с координатами точки (рисунок 9.4)) и может быть разложен по ортам , , :

.

Так как каждой упорядоченной тройке чисел , , соответствует единственный радиус-вектор , то задание вектор - функции эквивалентно заданию трех числовых функций , , :

Где .

Поэтому исследование векторной функции скалярного аргумента сводится к исследованию трех координатных функций , , , определенных на множестве . В координатной форме вектор-функция запишется в виде .

Вектор называется пределом вектор-функции , , в точке (или ), если .

Обозначается: .

Выражение задает числовую функцию. Следовательно, понятие предела вектор-функции сводится к понятию предела скалярной функции. Поэтому можно записать:

.

Геометрический смысл предела вектор-функции: если начало всех векторов поместить в одну точку, то условие означает, что концы всех векторов при лежат в шаре радиуса с центром в конце вектора .

Рисунок 9.5 – Геометрический смысл

Предела вектор-функции

Теорема 1 Пусть и . Для того, чтобы , необходимо достаточно, чтобы

, , .

Отсюда следует равенство:

.

Таким образом, для того чтобы вычислить предел вектор-функции, достаточно найти соответствующие пределы координат этой функции. Если хотя бы один из пределов координат функции не существует, то не существует и .

Вектор-функция , , называется непрерывной в точке , если .

Очевидно, что векторная функция непрерывна в некоторой точке тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны ее координатные функции , , .

< Предыдущая		Следующая >