07.4. Общая схема исследования функции

Исследование дважды дифференцируемой функции на (за исключением, быть может, конечного множества точек) и построение ее графика может быть выполнено по следующей схеме:

1) находится , определяются точки разрыва, нули, точки пересечения графика функции с осью , периодичность, симметрия;

2) находятся наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции (если они существуют);

3) с помощью первой производной функции определяются стационарные точки и интервалы монотонности;

4) с помощью второй производной определяются интервалы вогнутости и выпуклости графика функции, точки перегиба;

5) находятся локальные экстремумы функции на .

По результатам исследований строится график функции. Если исследуемая функция четная или нечетная, то достаточно исследовать функцию и построить ее график для положительных значений аргумента из области определения. Иногда для удобства результаты исследования сводятся в таблицу, построение которой приведено в типовом примере 5.

При решении конкретных задач отдельные этапы схемы могут быть расширены, другие же могут оказаться излишними или не выполнимыми.

Вопросы для самоконтроля

1 Какой график функции называется выпуклым, вогнутым?

2 Сформулируйте достаточное условие выпуклости и вогнутости.

3 Какая точка графика называется точкой перегиба?

4 Сформулируйте необходимое и достаточное условия точек перегиба.

5 Какая прямая называется вертикальной (наклонной, горизонтальной) асимптотой?

6 Перечислите основные этапы исследования функции.

< Предыдущая		Следующая >