06.2. Необходимое и достаточные условия существования локального экстремума функции

Теорема 2 (необходимое условие экстремума) Если в точке функция достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Из теоремы 2 следует, что в точках экстремума функции касательная к ее графику:

– параллельна оси абсцисс, если существует (рисунок 6.2, а);

– параллельна оси ординат, если бесконечна (рисунок 6.2, б);

– существуют не совпадающие левая и правая касательные, если (рисунок 6.2,в).

Рисунок 6.2 – Положение касательной к графику

Функции в точках экстремума

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называют Критическими или Точками возможного экстремума. Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называют Стационарными.

Критическая точка называется Угловой точкой Функции если (рисунок 6.2, в). Критическая точка называется Точкой Возврата функции, если ее левая и правая производные бесконечны (рисунок 6.2, б).

Не всякая критическая точка функции является точкой ее локального экстремума.

Теорема 3 (первый достаточный признак существования экстремума функции) Пусть – критическая точка непрерывной функции . Если при переходе через точку меняет знак с «+» на «–», то – точка локального максимума; если при переходе через точку меняет знак с «–» на «+», то – точка локального минимума; если при переходе через точку не меняет знак, то не является точкой локального экстремума.

Теорема 4 (второй достаточный признак существования экстремума функции) Стационарная точка функции , дважды дифференцируемой в , является точкой локального минимума , если , и точкой локального максимума, если (рисунок 6.3).