03.3. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция является дифференцируемой. Производная является также функцией от и может быть дифференцируема.

Производная от производной функции называется Производной второго порядка или Второй производной функции.

Обозначается: , , .

Механический смысл второй производной. Пусть – закон движения материальной точки, тогда первая производная определяет скорость движения . Вторая же производная есть скорость изменения скорости движения, т. е. ускорение .

Аналогично вводятся производные третьего, четвертого и более высоких порядков.

Производная от производной второго порядка функции называется Производной третьего порядка.

Обозначается: , , :

Аналогично

.

Производной -го порядка От функции называется производная от производной -го порядка:

.

Пусть функция задана неявно уравнением . Найденная производная содержит, в общем случае, как аргумент , так и функцию . По определению вторая производная от функции есть производная от первой производной. Следовательно, для нахождения второй производной, надо продифференцировать найденную первую производную по аргументу , продолжая рассматривать как функцию от . В выражение для второй производной войдут , и . Подставляя вместо его значение, находим , зависящую только от и . Аналогично поступаем при нахождении , и производных более высоких порядков.

Пусть – функция от , заданная уравнениями

Где .

Поскольку вторая производная от по есть первая производная от по , то задача нахождения второй производной сводится к отысканию первой производной от функции, заданной параметрическими уравнениями:

Следовательно, по определению первой производной для функции, заданной параметрическими уравнениями, имеем:

Аналогично находится третья производная:

И производные высших порядков.

Рассмотрим функцию . Дифференциал этой функции зависит от и , причем от не зависит, так как приращение в данной точке можно выбирать независимо от точки . Поэтому в формуле первого дифференциала будет постоянным. Тогда выражение зависит только от и его можно дифференцировать по .

Дифференциал от дифференциала функции в данной точке называется Дифференциалом второго порядка или Вторым дифференциалом и обозначается или , т. е. . Полагая в формуле первого дифференциала постоянным, получим:

.

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка и он равен:.

.

Дифференциал -го порядка (или -й дифференциал) функции определяется как дифференциал от дифференциала -го порядка: и .

Скобки при степенях можно опустить: .

Отсюда следует, что производная -го порядка функции есть отношение ее дифференциала -го порядка к -й степени дифференциала независимой переменной:

.

В частности, при получим соответственно:

, , .

Вопросы для самоконтроля

1 Как найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями?

2 Как найти производную неявной функции?

3 Дайте определение второй производной функции в точке .

4 Может ли существовать вторая производная , если не существует первая? Приведите пример функции, у которой существует , но не существует .

5 Как определяются производные высших порядков?

6 Дайте определение дифференциала - го порядка:

А) если независимая переменная;

Б) если Зависимая переменная.

< Предыдущая		Следующая >