1.8.3. Среднеквадратичная ошибка аппроксимации полиномами Лежандра

Пусть – система ортогональных многочленов на с весом – заданная функция.

Представим функцию в виде

Где –ошибка аппроксимации в точке ,

– отрезок ряда Фурье по системе ,

Согласно постановке задачи среднеквадратичного приближения необходимо найти коэффициенты , минимизирующие среднеквадратичную ошибку, т. е.

В силу ортогональности полиномов Лежандра, решение системы (30) дается формулой (33).

.

При этих значениях коэффициентов многочлен

–

– наилучший в среднеквадратичном многочлен -го порядка, т. е.

=

Вычислим квадрат нормы среднеквадратичной ошибки:

.

(11) (38)

Распишем скалярное произведение в (38):

.

(12) (39)

Распишем последнее слагаемое в (38):

.

(13) (40)

Подставляя (39) и (40) в формулу (38) для ошибки, получим:

(14) (41)

Из неравенства (41) следует так называемое Неравенство Бесселя для среднеквадратичного приближения:

.

Т. к. система многочленов полна, то в пределе получаем

,

Причем стремление к нулю монотонное: .

Пример 17. Пусть , найти наилучший в среднеквадратичном многочлен 2-ой степени, приближающий на отрезке . Вычислить среднеквадратичную ошибку аппроксимации.

В данном случае весовая функция , поэтому используем ортогональную систему полиномов Лежандра. Для три первых полинома найдены в примере 1:

По формуле (33), учитывая, что

В результате получаем: , и среднеквадратичная погрешность данного приближения

< Предыдущая		Следующая >