1.8.1. Среднеквадратичное приближение функций. Общая постановка задачи и ее разрешимость

Пусть задана система функций , - весовая функция.

Определение. Обобщенным полиномом порядка по системе называется линейная комбинация

Где – произвольные вещественные коэффициенты.

Постановка зАдачи среднеквадратичного приближения функции .

Найти такой обобщенный полином

Наименее уклоняющийся от функции в метрике , т. е. удовлетворяющий условию:

.

Многочлен , удовлетворяющий указанному условию, называется Многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения.

Теорема 1.4. ЕСли система функций линейно независима, то задача среднеквадратичного приближения однозначно разрешима.

Распишем квадрат расстояния между функцией и полиномом:

.	(29)

Очевидно, что величина - неотрицательно определенная квадратичная функция переменных , а такая функция всегда имеет минимум. Т. о. решение задачи среднеквадратичного приближения существует.

Докажем единственность решения. Минимум функции можно найти из необходимых условий экстремума (для неотрицательной квадратичной функции они являются так же и достаточными):

Применяя данное условие к (29), получим систему линейных уравнений:

(30)

Система (30) называется Нормальной системой уравнений.

Выпишем определитель системы (30).

(31)

Определитель (31) – так называемый Определитель Грама системы функций .

В курсе линейной алгебры доказывается, что, если система линейно независима, то , отсюда следует существование и единственность решения (30).

Доказывается от противного. Пусть однородная система уравнений, получаемая из (2) при нулевой правой части имеет нетривиальное решение. Обозначим его .

Используя свойства скалярного произведения, запишем уравнения однородной системы следующим образом:

(32)

Умножая уравнения системы (32) соответственно на и складывая, получим

Отсюда по свойству нормы следует, что ,

Причем не все тождественно равны нулю, а это значит, что система - линейно зависима, что противоречит условию теоремы. Т. о. и неоднородная система (30) имеет единственное решение.

Наиболее просто решается система (30), если система функций - ортогональна, т. е. выполняется условие .

Заметим, что справедливо одно из важных свойств ортогональной системы функций: если система - ортогональна, то она линейно независима.

Пусть система ортогональна на . Тогда система (30) становится диагональной:

.

Отсюда искомые коэффициенты находим по формуле

.

(33)

И тем самым определяется многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения:

.

Полученный обобщенный многочлен называют Обобщенным многочленом Фурье для функции по системе , а коэффициенты - Коэффициентами Фурье.

< Предыдущая		Следующая >