1.7.2. Простейшие свойства многочленов Чебышева

1. Многочлены Чебышева ортогональны на отрезке с весом .

Рассмотрим интеграл

В силу ортогональности системы функций на отрезке .

Вычислим квадрат нормы:

.

2. При четных (нечетных) N многочлен Чебышева Tn(X) содержит только четные (нечетные) степени Х, т. е. является четной (нечетной) функцией.

Доказывается по индукции с помощью рекуррентной формулы (25).

3. Коэффициент при старшей степени Xn многочлена Tn(X) равен 2N-1.

Доказывается по индукции с помощью рекуррентной формулы (25).

4. Многочлен Tn(X) имеет на отрезке ровно N различных действительных корней, определяемых формулой:

Действительно:

5. и достигается в точках экстремума:

.

Из определения (1) следует, что для любого . Очевидно, что

.

6. Многочлен среди всех многочленов N-ой степени с коэффициентом при старшей степени An=1 обладает тем свойством, что

.

(26)

Доказывается от противного: пусть это не так и существует многочлен

Такой, что выполняется противоположное:

.

(27)

Разность () – многочлен (N-1)-ой степени, причем в силу (4)

.

Обозначим и заметим что, в силу (27)

.

Продолжим рассмотрение разности:

Таким образом, при переходе от точки к разность () меняет знак. Всего при переходе от точки к произойдет ровно N смен знака. Отсюда следует, что разность имеет на отрезке ровно N действительных корней (нулей), что противоречит теореме Гаусса, т. к. это многочлен (N-1)-ой степени.

Замечание. Благодаря свойству 6 многочлен Чебышева называется Многочленом, наименее отклоняющимся от нуля.

< Предыдущая		Следующая >