5.I. Вычисление статических моментов и моментов инерции
Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п° 206, 207. Рассмотрите внимательно примеры, приведенные в указанных пунктах.
573. Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы центр окружности совпадал с началом координат, а диаметр, относительно которого мы ищем сгатический момент, совпадал с осью Ох. Тогда статический момент полуокружности относительно диаметра выразится следующей формулой:
I
Kx =J ydl,
о
В выбранной системе координат уравнение полуокружности запишется так: у —V R2—х. Тогда
в
R R
574. Найти статические моменты относительно осей Ox и Oy дуги эллипса
, расположен
ной в первом квадранте.
Решение. Найдем статический момент дуги эллипса относительно оси Ох. Из уравнения эллипса имеем
(мы берем перед корнем знак
, так как по условию кривая расположена в первом квадранте).
Следовательно,
Таким образом,
Найдем статический момент дуги эллипса относительно оси Oy. Из уравнения эллипса имеем:
X = JLyW=T*-, dl = - L YbUg^ZFldy.
b b У Ь2 — у2
Таким образом,
О
575. Найти статический момент прямоугольника с основанием а и высотой h относительно его сторон.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпадала с основанием, а начало координат — с прилегающей к основанию стороной. Тогда статический момент плоского тела относительно оси Ox будет вычисляться по формуле:
а
ъ
Kx dX.
В нашем случае у = h,
Статический момент относительно оси Oy вычисляется по формуле:
576. Налти статический момент фигуры, представленной на рисунке 23 относительно стороны OD1 если известно, что OA = 3 см, AB = 5 см, BC = 5 см, OF = 8см, а дуга CD есть четвертая часть окружности радиуса CF = FD = S см.
Решение. Как видно из рисунка 23, данная фигура имеет сложную форму. Разобьем это тело на простые геометрические фигуры и применим затем теорему: статический момент фигуры относительно некоторой оси равен сумме статических моментов ее частей относительно той же оси.
Выберем систему координат, как показано на рисунке 23. Легко видеть, что данную фигуру можно рассматривать как сумму дзух трапеций OABM и MBCF и одной четвертой части круга.
Координаты точек At Bt C9 Dy F определить легко: Л (0, 3), В (4, 6), С (8, 3), £>(11, 0), F( 8, 0).
Найдем уравнения прямых AB и BCt как уравнения прямых, проходящих через две данные точки:
уравнение прямой AB:
уравнение прямой ВС:
Так как центр F окружности лежит на оси Ox и отстоит от начала координат на расстоянии OF — 8, то уравнение окружности будет
Учитывая все вышеизложенное, найдем:
577. Найти статический момент тела, ограниченного одной аркой циклоиды
относительно оси Ох.
Решение. Так как параметр t для одной арки циклоиды изменяется от 0 до 2я, то
578. Найти момент инерции одной арки циклоиды
Относительно оси Ох. Решение. Как было показано в теоретическом курсе, момент инерции дуги относительно оси Ox вычисляется по формуле:
где
—дифференциал дуги. Найдем дифференциал дуги:
579. Найти момент инерции дуги окружности
, лежащей в первом квадранте, относительно
оси Dy.
Решение. Как известно, момент инерции кривой относительно оси Oy вычисляется по формуле:
Так как и, следо
вательно,
Для вычисления
Была использована
тригонометрическая подстановка
580. Найти момент инерциифигуры, вграниченной дугой полуокружности
Относительно
оси Ох.
Решение. Как известно из теоретического курса, момент инерции Ix плоского тела относительно оси Ojc равен:
где dS—элементарная площадь тела.
Таким образом,
581. Найти статические моменты дуги параболы у2 = 2х (у > 0) относительно осей Ox и Oy от х = 0 до
2_
582. Найти статический момент дуги астроиды х3 -\-2_ 2_
- j-y 3 = а 3 , лежащей в первом квадранте, относительно оси Oy.
583. Найти статический момент относительно оси Ox
584. Вычислить статический момент фигур, ограниченных следующими линиями:
COS X OT ТОЧКИ X ---до точки
2
дуги косинусоиды у
^ _ TC
2
а) у —- и у = Xi относительно оси Ох\
I +JTa * _
б) у — X1 и у = Y х относительно оси Ох.
585. Вычислить статический момент фигуры, представленной на рисунке 24, где BC\\AD, CKJ_AD, AB = 5, BC = 2, CK = KD = 3, AK = 6, относительно оси Ох.
586. Найти статический момент прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом, равным а, относительно этого катета.
587. Найти момент инерции отрезка AB, где А (2; 3), В (5; 4), относительно обеих координатных осей.
588. Найти момент инерции треугольника ABC (рис. 25) относительно стороны Ь.
589. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и b относительно обеих сторон.
590. Найти момент инерции трапеции ABCD относительно ее основания AD1 если AD=а, BC = 6, высота трапеции равна h.
591. Найти момент инерции
параболического сегмента относительно основания. Основание сегмента равно а, «стрела сегмента» равна А.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
