3.3. Замена переменной. Интегрирование но частям

I. Замена переменной в определенном интеграле.

Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенголь-ца главу XI, п° 186. Разберите примеры, решенные в этом пункте. Обратите особое внимание на выполнимость условий, при которых становится возможной замена переменной.

В теоретическом курсе доказывается, что определен-

рый интеграл при выполнении ряда условий мо-

экет быть заменен другим определенным интегралом

Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости затем возпращаться к стар эй переменной (как мы это делали при вычислении неопределенного интеграла).

При этом используется замена переменной

Решение. Введем новую переменную t, положив Покажем, что функцияУдовлетворяет всем условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле. В самом деле,

I) функция, w______ определена и непрерывна

для всех значений t и, в частности, на некотором промежутке

, и ее значения не выходят за пределы промежутка, когда t изменяется в

3) существует вНепрерывная производная

Итак, указанная замена переменной законна. Тогда

для

Так как-, то, заменяя переменную в

определенном интеграле и учитывая четность подынтегральной функции, получим:

Указание. Для отыскания пределов интегрирования новой переменной t используйте равенствоНижний предел а найдется, если вместо х подставить значение нижнего (старого) предела:

Верхний предел р найдется, если вместо х подставить значение верхнего (старого) предела:

389. Вычислить интеграл:

Решение. Введем новую переменную t, связанную со старой переменной х соотношением Покажем, что такая замена переменной законна.

Действительно: I) функцияОпределена и

непрерывна на отрезке(так как она определена

и непрерывна на всей числовой поямой). и ее значения не выходят за пределы промежуткаКогда t изменя

ется в

3) существует вНепрерывная производная

Итак, вводим новую переменную t, полагая Тогда

Так какТо, заменяя переменную в опре-

390. Вычислить интеграл: ;.

Решение. Введем новую переменную t, положив х = te. (Почему возможна такая замена?) Тогда dx = = 6 tbdt. Найдем пределы интегрирования для новой переменной t:

Заменяя переменную в определенном интеграле, получим

Применяя соответствующую замену переменной, вычислить интегралы:

2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Рассмотрите внимательно решение примеров, помещенных в п° 187. Обратите особое внимание на выполнение необходимых условий, при которых операция интегрирования по частям будет законна.

402. Вычислить интеграл:

Решение. ОбозначимЧерез и, аЧерез,

120

Эта операция является законной, так как в промежутке [I, 2] функции и и V являются непрерывными функциями и имеют непрерывные производные

В теоретическом курсе было показано, что при выполнении этих условий

Следовательно,

Интеграл снова берем по частям, полагая

(Мы пропускаем доказательство законности данной операции, так как оно аналогично доказательству, приведенному ранее.)

Получим:

Окончательно получим:

403. Вычислить интеграл

Решение. Обозначим х через и иЧерез dv,

Легко показать, что данная операция является законной: функции—функции непрерывные и име

ют в каждой точке промежутка [О, I] непрерывные производные. Следовательно,

Используя метод интегрирования по частям, вычислить следующие интегралы:

Метод интегрировайия по частям в определенном интеграле часто используется для получения удобных рекуррентных формул, позволяющих сводить данный интеграл к интегралу такого же типа, но более простому.

414. Вычислить интеграл: