3.2. Вычисление определенных интегралов с помощью первообразных. Применение к вычислению рядов
I. Формула Ньютона — Лейбница. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XI, п° 183, 185.
Выведенная в учебнике (см. п° 185) формула (А) носит название формулы Ньютона — Лейбница. Она является самым эффективным и простым средством вычисления определенного интеграла. Таким образом, для того чтобы
вычислить определенный интеграл
Надо пред
варительно вычислить соответствующий неопределенный интеграл
Применяя какой-нибудь из способов,
изученных в первой части настоящей книги, а затем, отбросив произвольную постоянную, вычислить значение полученной функции при х = b и при х — а и вычесть из первого второе.
Прежде чем приступить к применению формулы Ньютона— Лейбница к заданному определенному интегралу, надо предварительно посмотреть, имеет ли подынтегральная функция особые точки. Если она на заданном промежутке интегрирования непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода (см. учебник, п° 67), то формулу Ньютона—Лейбница можно применить. Если же в промежутке интегрирования подынтегральная функция имеет хотя бы одну точку разрыва II рода (см. учебник, п° 67), то применять формулу Ньютона — Лейбница
мулу Ньютона—Лейбница, мы получим следующий результат:
который безусловно является абсурдным, так как определенный интеграл от функции, положительной на всем промежутке интегрирования, не может быть отрицательным.
Дело в том, что в заданном примере мы не имели права применять формулу Ньютона—Лейбница, так как
подынтегральная функция
В точке х = О, принадлежащей промежутку интегрирования, имеет разрыв II рода.
Приведенный определенный интеграл принадлежит к так называемым несобственным интегралам. Подробнее о несобственных интегралах см. Г. М. Фихтенгольц, Основы математического анализа, т. II, п° 288, 289.
Чтобы предупредить читателя о возможных ошибках, рассмотрим еще один пример необоснованного применения формулы Ньютона — Лейбница, приводящего к абсурдным результатам.
Вычислим, например, интеграл:
Нередко рассуждают так: применяя известную из курса тригонометрии формулу
находим:
Мы получили, однако, заведомо неправильный результат. В самом деле, подынтегральная функция
на промежутке
Лишь в точке
Обращается
в нуль, во всех остальных точках этого промежутка она больше нуля и, следовательно, заданный определенный интеграл никак не может быть равен нулю.
Ошибка была допущена в тригонометрической формуле (I). Действительно, левая часть формулы всегда либо больше, либо равна нулю, в то время как ее поавая
часть больше или равна нулю на промежутке
И
Таким
меньше или равна нулю на промежутке
образом, вместо формулы (I) следует писать:
Теперь получим:
Замечание. При вычислении определенных интегралов полезно помнить также, что если f(x)—четная функция, то
а если /(*) — нечетная функция, то
Решение. По формуле Ньютона — Лейбница (см. учебник, п° 185) имеем:
где
—любая первообразная для функции
Найдем первообразную функцию F (х) и вычислим разность значений этой первообразной при х = 2 и х = 0. Предварительно найдем неопределенный интеграл:
Применяя подстановку откуда полу
чаем:
Следовательно,
{Напомним, что все остальные первообразные будут отличаться от найденной на произвольную постоянную С.) Пользуясь формулой Ньютона—Лейбница, найдем: 
Таким образом,
при условии, что т и п — целые положительные числа.
Решение. Имеем:
363. Вычислить интегралы:
Решение, а) Воспользовавшись первой формулой (13) на стр. 75, получим:
Поскольку cos х — функция четная, то выражения в квадратных скобках принимают одинаковые значения при 
Следовательно, в обоих случаях искомый интеграл равен нулю. Таким образом,
б) Точно так же вычислим второй интеграл. По второй формуле (13) имеем:
Так как т и п — целые положительные числа, a SinAji=O при любом целом k, то окончательно получим:
в) Вычисление третьего интеграла не доставит нам теперь почти никакого труда. В самом деле, воспользовавшись третьей формулой (13), найдем:
Рассуждая так же, как при вычислении второго интеграла, окончательно получим:
Соотношения (I), (2) и (3) чрезвычайно важны. Они называются условиями ортогональности последовательностей тригонометрических функций
и
Применяя формулу Ньютона — Лейбница, вычислить следующие интегралы:
2. Вычисление пределов с помощью определенных ин-тегралов. В практической жизни встречаются задачи, решение которых приводит к вычислению пределов сумм, когда число слагаемых неограниченно возрастает. Такие пределы можно вычислить, пользуясь определением определенного интеграла. Для этого следует преобразовать данную сумму так, чтобы она оказалась интегральной для некоторой функции, которую затем и проинтегрировать.
379. Пользуясь определением определенного интеграла, вычислить предел суммы:
когда
Решение. Преобразуем данную сумму, вынося за скобки общий множитель
-, тогда первый множитель
можно рассматривать как длину частичного промежутка разбиения отрезка [О, I] на п равных частей, а сумму, стоящую в скобках, как сумму значений функции f(x) = = х в самых правых точках разбиения указанного отрезка (они то и выбраны в качестве точек
Переходя к пределу при X 0 (при п оо), получим:
380. Пользуясь определением определенного интеграла, вычислить:
Решение. Первый множитель
—длина частичного
промежутка разбиения отрезка
. Если этот проме
жуток разбит на п равных частей и в качестве точек 
Выбраны самые левые точки деления, то сумму, стоящую в скобках, можно рассматривать, как значения функции
В указанных точках
В самом деле, для последовательности точек
соответствующая последовательность значений функции /(х) в выбранных точках будет:
Таким образом,
Пользуясь определением определенного интеграла, вычислить следующие пределы:
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
