2.I. Интегрирование рациональных функций

Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтен-гольца главу X, п° 164—167. Перед тем как перейти к решению задач на случай 4, еще раз внимательно разберите решение примера 5 в п° 163 учебника.

При решении задач настоящего параграфа в тех случаях, когда степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе, не забывайте предварительно исключить целую часть.

Случай I. В разложение знаменателя рациональной функции входят только множители первой степени и ни один из них не повторяется.

179. Найти интеграл:

Решение. Так как

то подынтегральную функцию мы разложим на такие простейшие дроби:

где постоянные A9 By С, D найдем следующим образом с помощью метода неопределенных коэффициентов (как мы поступали выше при решении задачи 132).

Приводим равенство (I) к общему знаменателю д последний отбрасываем:

Равенство (2) справедливо при любых значениях х. Поэтому выбираем теперь четыре*) таких значения х, каждое из которых обратило бы в нуль какой-нибудь из сомножителей в правой части (2). В нашей задаче такими значениями являются: х = — I, X=I9 х = — 2, х = 2. Подставив поочередно эти значения в равенство (2), получим:

Таким образом, мы получили следующее разложение рациональной дроби на простейшие:

Интегрируя, находим:

Четыре значения Jr потому, что нам надо найти четыре неопределенных коэффициента, число которых, всегда равно степени знаменателя.

Разумеется, мы могли бы искать неопределенные коэффициенты А, В, С, D и так, как мы это делали при решении задачи 131. Однако в случае I это немного усложняет отыскание указанных коэффициентов.

180. Найти интеграл:

Решение. Так как то аналогично решению предыдущей задачи пишем следующее разложение подынтегральной функции:

Далее имеем:

Замечание. Обращаем внимание читателя на то, что ни в предыдущей задаче, ни в настоящей мы намеренно не раскрываем скобок в правой части равенства (4), так как это привело бы не к упрощению, а, наоборот, к некоторому усложнению подсчета коэффициентов. В задачах, относящихся к случаю I, так всегда рекомендуем поступать.

Находим теперь значения равенства (4) при х = 0,

Теперь разложение (3) мы можем переписать в виде

Подставляя полученное выражение в заданный интеграл и производя почленное интегрирование, получим:

Случай 2. В разложение знаменателя рациональной функции входят только множители первой степени и некоторые из них повторяются.

Решение. Знаменатель подынтегральной дроби содержит однократный множитель х - j-1 и двукратный множитель x-j-2, поэтому в данном случае получим следующее разложение на простейшие дробш

Приводим теперь к общему знаменателю и отбрасываем его. Получим тождество:

справедливое при любых значениях х. Мы можем здесь назвать лишь два значения х, обращающие в нуль какие-нибудь из слагаемых в равенстве (6), это X = — I и х=—2; однако нам надо отыскать три неопределенных коэффициента A, B1, B2, поэтому дадим х еще одно (любое) значение, например х=0. Подставив поочередно эти три значения в равенстве (6), получим:

Итак, имеем:

Следовательно, искомый интеграл равен:

182. Найти интеграл:

Решение. Для заданной подынтегральной дроби разложение будет иметь вид:

так как в знаменателе множитель х повторяется трижды, а мн<*житель 2х - f - 3 повторяется дважды. Приводя к общему знаменателю, получим:

При необходимости определить пять коэффициентов Av A a, A3t Bv B2 мы здесь можем назвать лишь два значения, которые обращают в нуль

какие-нибудь из слагаемых в правой части равенства (8). Поэтому одновременно воспользуемся здесь и способом, указанным в решении задачи 131, т. е. приравняем в обеих частях тождества (8) коэффициенты при одинаковых степенях х. Так как нам необходимо вычислить пять коэффициентов A19 A29 A^ B19 B29 томы найдем значения тождеств^ (8) при X = 0, при, а также срав-

глт в обеих частях этого тождества коэффициенты, например, при х\ X2 и х. Получим:

Подставив в последнее уравнение значение, мы

найдем. Затем из предпоследнего уравнения

найдем A1 = 0 и из первого уравнения находим B1 — 0. Итак, мы получили разложение:

Искомый интеграл теперь легко вычисляем:

Заданный интеграл можно вычислить иным путем, именно с помощью подстановки

Предлагаем это проделать читателю.

Замечание. Интеграл, рассмотренный в задаче 182, представляет собой частный случай интеграла

в котором пит — целые положительные числа. Интеграл такого типа может быть взят намного проще, чем по общему правилу, с помощью подстановки

Подробнее смотрите учебник А. Ф. Берманта «Курс математического анализа» (ч. I, изд. 12, Физматгиз, 195в).

Укажем еще один прием вычисления неопределенных коэффициентов, особенно удобный в тех случаях, когда необходимо вычислить лишь какую-то группу коэффициентов. Проиллюстрируем этот прием на примере 182. Для данного в нем интеграла мы представили разложение рациональной дроби в следующем виде:

И двукратный корень

Займемся сначала отысканием группы неопределенных коэффициентов Alf A2f A3 (все слагаемые в правой части (7'), не содержащие этих коэффициентов, обозначим через /(я))-Для этого сбе части равенства (7') умножим наТ. е. в нашем случае просто на л;3, поскольку

O1 = O есть трехкратный корень знаменателя дроби. Мы получим следующее тождество:

относительно переменного X9 которое, следовательно,

Многочлен в знаменателе дроби имеет трехкратный корень

справедливо при любом значении х. Положив в (9) х = О, получим коэффициент A3:

Продифференцируем теперь тождество (9) по х. Мы получим следующее тождество:

Полагая в нем снова х = 0, найдем коэффициент A2:

так как все остальные слагаемые обратятся в нуль при х =0. Продифференцировав тождество (11) по х, получим снова тождество:

ПриПолучим:

так как все остальные члены правой части обратятся при этом в нуль. Из равенства (13) находим A1:

Итак, мы нашли те же значения коэффициентов A19 A2fA3:

которые ранее в примере 182 (см. стр. 47) были получены другим путем.

Рассуждая точно так же в общем случае, мы легко получим следующие общие формулы для отыскания

неопределенных коэффициентов рациональной дроби. Именно, пусть задана правильная несократимая рациональная дробь вида

где— многочлены. Рассмотрим лишь случай,

когда корни многочлена S(x) все вещественны. Тогда, если для многочлена n-й степени £(л:) его разложение на множители имеет вид:

где—корни—соответственно их кратности, причемТо разложение рациональной дроби (14) на простейшие можно представить в виде:

В этом случае неопределенные коэффициенты можно вычислить по следующим формулам:

С помощью формул (17)-(19) определим теперь коэффициенты S1 и B2 в разложении (7) для примера 182. Итак, имеем;

Итак,Что совпадает с полученны

ми ранее (см. стр. 46) значениями этих коэффициентов. Если многочлен S (х) имеет только простые корни, т. е.

то разложение (16) для рациональной дроби (14) примет более простой вид:

В этом случае для отыскания неопределенных коэффициентов А, В,..., L достаточны будут только первые из формул (17)— (19), которые можно представить в более простом виде. В самом деле, легко видеть, что если аи — простые корни многочлена S(x), то

Применим рассмотренный прием к отысканию неопределенных коэффициентов разложения рациональной дроби примера 179. В этом примере (см. стр. 43)

Поэтому в случае простых корней многочлена 5 (х) формулы для определения коэффициентовПримут вид:

Таким образом, по формулам (23) находим неопределенные коэффициенты в разложении (I):

что совпадает с решением примера 179 (см. стр. 44). Рассмотрим разложение рациональной дроби примера 180:

что совпадает со значениями этих коэффициентов, найденными на стр. 45.

По формулам (23) находим:

Указанный прием можно применить к отысканию коэффициентов, соответствующих только простым корням многочлена S(я), и в том случае, когда другие его корни кратные или комплексные.

Случай 3. В разложение знаменателя рациональной функции входят множители второй степени (неразложимые на вещественные множители первой степени) и ни один из них не повторяется.

183. Найти интеграл:

Решение. Предварительно исключаем целую часть рациональной дроби. Имеем:

Таким образом, получаем:

Далее, так какПричем вто

рой сомножитель не разлагается на вещественные множители первой степени, то разложение данной дроби будет иметь вид:

Освобождаемся от знаменателя:

Таким образом, имеем:

Теперь интегрируем:

Оставшийся интеграл берем подстановкой (см. решение задачи 130):

и в полученном тождестве сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа:

Мы получили систему трех уравнений относительно коэффициентов А. В. С. Решая ее, находим:

Итак,

где

Вставляя полученное в равенства (25) и (24), окончательно получим:

Освобождаясь от знаменателя, получаем тождество:

Приравниваем в нем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа:

Решая эту систему четырех уравнений, находим:

Таким образом, разложение данной рациональной дроби имеет вид:

184. Найти интеграл:

Решерие. Здесь разложение рациональной дроби имеет вид:

Теперь остается проинтегрировать, и мы найдем искомый интеграл:

Случай 4. В разложение знаменателя рациональной функции входят множители второй степени (неразложимые на вещественные множители первой степени) и некоторые из них повторяются.

Здесь речь идет о том, что в разложение знаменателя входят множители вида. В § 4 главы I