6.4.2. Статистическая оценка параметров распределения

Пусть значения случайной величины X образуют генеральную совокупность. Закон распределения СВ (например, нормальный закон) X нам известен. Однако неизвестны некоторые параметры этого распределения (например, МО или дисперсия).

Требуется, изучая выборки из генеральной совокупности, оценить, т. е. приближенно найти, неизвестный параметр.

Статистической оценкой неизвестного параметра называется всякая функция р вариант хг - выборки, дающая приближенное значение этого параметра.

Если обозначим неизвестный параметр через в, а его оценку через в*, то в* = в (хь..., хп), где X!, ..., хп — выборка из генеральной совокупности X.

Рассматривая варианты хь..., хп выборки как значения п экземпляров Х1, ..., Хп СВ X, получим:

в* = р(Х1, ..., Хп),

т. е. статистическая оценка в* является функцией от случайных

величин Xl5 Хл, а значит и сама является СВ. Таким образом, статистическая оценка в * принимает значения (различные) в зависимости от выборки.

Ясно, что для одного и того же неизвестного параметра можно построить различные статистические оценки. Наша задача понять, какие оценки являются «хорошими».

Во-первых, естественно желание, чтобы статистическая оценка, являясь случайной величиной, имела своим математическим ожиданием неизвестный параметр.

Статистическая оценка в* неизвестного параметра в называется несмещенной, если М (в*) = в.

Во-вторых, естественно требовать, чтобы значения статистической оценки в* по возможности более тесно концентрировались около в. Вспоминая, что дисперсия является мерой рассеяния значений СВ около среднего значения, дадим следующее определение.

Статистическая оценка в* неизвестного параметра в называется эффективной, если она обладает наименьшей дисперсией среди всех статистических оценок параметра в.

В третьих, естественно считать, что, чем больше объем выборки, тем точнее значение статистической оценки определяет неизвестный параметр.

Статистическая оценка в* неизвестного параметра в называется состоятельной, если она стремится по вероятности к в, т. е.

limP { | в * - в | < е} = 1 при любом е > 0.

< Предыдущая		Следующая >