6.3.3. Дискретные распределения Геометрическое распределение

Дискретная СВ с рядом распределения

где— постоянное число,

имеет геометрическое распределение.

Если X имеет геометрическое распределение, то

Пусть n — некоторое натуральное число, 0 < р < 1, q = 1 - р. Дискретная СВ с рядом распределения

где P (к) = Ck • рк • qn k, имеет биномиальное распределение.

Если X — случайная величина, равная числу появлений некоторого события A в n независимых испытаниях (р = р (A) — вероятность появления события А в одном испытании), то X имеет биномиальное распределение.

Если СВ X имеет биномиальное распределение, то

Распределение Пуассона

Распределением Пуассона называется распределение дискретной СВ, вероятности значений которой вычисляются по формуле Пуассона:

где I = n ¦ р - среднее число появлений события.

Для распределения Пуассона

Это свойство применяют на практике при решении вопроса: правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина X распределена по закону Пуассона?

Пример 6.23. Вероятность сдать заказ в ателье равна р < 1,0. Настойчивый клиент обходит все имеющиеся в городе ателье, пока не добьется успеха. Какова вероятность, что ему это удастся не раньше, чем с третьего раза, если по статистике среднее число попыток равно 5.

Решение. Случайная величина распределена по геометрическому закону. Поэтому i, отсюда р = 0,2. Найдем

— вероятности

того, что клиент добьется успеха с первого и со второго раза соответственно.

События, что клиент добьется успеха не раньше, чем с третьего раза или с первого, или со второго раза, образуют полную группу событий, т. е. P (т > 3) + [P (m = 1) + P (т = 2)] = 1. Отсюда P (т > 3) = 1 - [P (1) + P (2)] = 1 - (0,2 + 0,16) = 0,64.

Пример 6.24. На абонементное обслуживание поставлено 5 телевизоров. Известно, что для группы из пяти телевизоров математическое ожидание числа отказавших за год равно единице. Если телевизоры имеют одинаковую вероятность безотказной работы, то какова вероятность, что за год потребуется хотя бы один ремонт?

Решение. Случайная величина распределена по биномиальному закону, так как испытания независимы и вероятность P (A) = const. Поскольку математическое ожидание числа отказавших телевизоров равно единице, то математическое ожидание годных равно:

Параметр Р определяется из формулы математического ожидания, M (X) = n ¦ р, т. е.«Потребуется хотя бы один

ремонт» соответствует вероятности P5 (n < 5), где n — число годных телевизоров. Тогда из анализа полной группы случайных величин Р5 (n < 5) = 1 - Р5 (n = 5). При этом вероятность годности всех телевизоров рассчитывается по формуле Бернулли:

Вероятность искомого события равна:

Задачу можно решить и другим способом. Так как вероятность ремонта любого телевизора q = 0,2, а вероятность безотказной

работы Р = 0,8, то вероятность хотя бы одного ремонта из пяти телевизоров равна:

Пример 6.25. Приемщица за один час принимает в среднем две заявки. Предполагается простейший поток заявок. Чему равна вероятность поступления четырех заявок за четыре часа?

Решение. Для простейшего потока событий можно воспользоваться распределением Пуассона, которое будет иметь вид:

где по условию I = 2; t = 4 и тогда It = 8, а m — число заявок.

Вероятность появления не менее четырех событий рассмотрим как:

< Предыдущая		Следующая >