5.3. Признак сходимости Лейбница

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

где а1, а2, а3, ... , ап - положительные числа.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости.

Признак Лейбница. Ряд (1) сходится, если его члены монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при п ® ¥.

Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано на замене суммы ряда суммой нескольких первых его членов. Допускаемая при этом погрешность очень просто оценивается для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, - это погрешность меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда.

Пример 5.10. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

Решение. Так как члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

и общий член при п ® ¥ стремится к нулю:

то в силу признака Лейбница ряд сходится.

Пример 5.11. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда

суммой четырех первых его членов.

Решение. Данный знакочередующийся ряд сходится (см. задачу 5.10). Ошибка DS4, получающаяся при замене суммы S этого ряда суммой четырех первых его членов, меньше абсолютного значения пятого члена: DS4 < 0,2.

< Предыдущая		Следующая >