3.4. Двойные интегралы

Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. Пусть функции f(x, у) = f(P) определена и непрерывна на замкнутой ограниченной области G плоскости 0xy, sn = (Dc1, Ds 2, ..., Ds п} — некоторое разбиение области G на элементарные подобласти Dsk, площади которых также обозначим через Dsk, а диаметры — через dk. Зафиксируем точки Pk е Dsk, к = 1, ..., п. Выражение

называется интегральной суммой для функции f(P) по области G. Если существует предел последовательности интегральных сумм Sn при max dk ® 0 (при этом п ® ¥) и если этот предел не зависит

1<k <п

ни от способа разбиения области G на элементарные подобласти Dsb ни от выбора точек Pk е Dsk, то он называется двойным интегралом от функции f(x, у) по области G и обозначается через

Таким образом,

Для двойного интеграла справедливы свойства линейности и аддитивности.

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим способом. Пусть область G (рис. 45) ограничена кривыми у = j (x), у = j2(x), x = a, x = b, причем всюду на [a, b] функции j (x) и j2 (x) непрерывны и j (x) < j2 (x). Тогда

причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной у (x — параметр), а полученный результат интегрируется по x. Заметим при этом, что если кривая j (x) (или кривая j (x)) в

промежутке а < x < b задается различными аналитическими выражениями, например

то интеграл справа записывается в виде суммы двух интегралов

Аналогично, если область G ограничена кривыми x = у (у), x = y2 (у), у = с, у = d, причем всюду на [с, d] функции Iy1 (у) и у2 (у) непрерывны и у (у) < у2 (у) (рис. 46), то

Двойной интеграл, представленный в виде (3.15) или (3.16), называется также повторным интегралом.

Пример 3.27. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

Строим область интегрирования G по пределам интегрирования:, у,(у) = 1 - у, у = 0, у = 1 (рис 47). Сверху область G ограничена кривой

а снизу — прямой у = 0. Поэтому имеем

Пример 3.28. Вычислить двойной интеграл

где область интегрирования ограничена параболами у = x - x, у = 1 - x2 и осью Оу (рис. 48).

176

Рис. 48

Решение. Параболы пересекаются в точке А (1; 0). Область интегрирования D является правильной в направлении оси Оу и определяется неравенствами

Следовательно,

В результате

1 ->

Пример 3.29. Выразить двойной интеграл по функции /(x; у) по области D, ограниченной параболой у = 3 - x2 и прямой у = -1, через двукратные интегралы при различном порядке интегрирования.

Решение. Решив систему уравнений, найдем точки

пересечения параболы и прямой. Это будут точки А (-2; -1) и

Рассмотрим сначала повторный интеграл по области D, интегрируя во внутреннем интеграле по у, а во внешнем интеграле — по x. Для этого будем рассматривать область D как заключенную в полосе между прямыми x = -2 и x = 2 (область D проектируется на ось Ох в отрезок [-2; 2]). Область ограничена снизу отрезком AB с уравнением у = -1(-2 < x < 2), а сверху — дугой параболы у = 3-x2 (-2 < x < 2). Следовательно, двукратный

интеграл будет

В (2; -1). Вершина параболы находится в точке С (0; 3); ось 0у является осью симметрии параболы (рис. 49).

Рис. 49

Изменим теперь порядок интегрирования, т. е. будем во внутреннем интеграле интегрировать по х, а во внешнем — по у. Для этого будем рассматривать область D как заключенную в полосе между прямыми у = -1 и у = 3 (область D проектируется на ось Оу в отрезок [-1; 3]). Область ограничена слева дугой

параболы(-1 < у < 3), а справа — дугой параболы

Эти уравнения получаются, если уравнение у = 3 - x2 разрешить относительно x. Следовательно, теперь

двукратный интеграл будет

Пример 3.30. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми r = a (1 + cos j) и r = a cos j (a > 0).

В плоскости Oxy фигура показана на рис. 50.

Итак,

Площадь S плоской области G выражается, в зависимости от рассматриваемой системы координат, следующими интегралами:

в декартовых прямоугольных координатах, а в полярных координатах x = r cos j, у = r sin j имеем

Рис. 50

Вычислим по формуле (3.18) площадь верхней части и удвоим:

Объем V цилиндра, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = / (x, у), снизу плоскостью z = 0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Oxy область G, выражается интегралом

(функция / (x, у) > 0 однозначна в области G).

Пример 3.31. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями.

Решение. Построим чертеж, на котором изобразим тело, ограниченное указанными поверхностями (рис. 51 а). Объем тела

— уравнение поверхности, ограни-

чивающей тело сверху, а D — область интегрирования, представляющая собой треугольник в плоскости xOy, ограниченный прямыми x = 0, у = x и у = 1, являющимися линиями пересечения

с плоскостью xOy (z = 0) плоскостей x = 0, у = x и (рис. 51 б). Вершинами этого треугольника являются точки (0; 0), (0; 1), (1; 1), получающиеся в результате решения систем уравнений, составленных из соответствующих пар уравнений сторон. Эту область можно рассматривать как заключенную в полосе между прямыми у = 0 и у= 1; слева область ограничена прямой x = 0, а справа — прямой x = у. Следовательно,

Итак,

< Предыдущая		Следующая >