4.7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение
которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями г, причем сама функция заменяется единицей.
Тогда общее решение уравнения (1) строится в зависимости от характера корней T1 и T1 уравнения (2). Здесь возможны три случая.
1-й случай. Корни T1 и T2 — действительные и различные. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
2-й случай. Корни T1 и T1 — действительные и равные: T1 = T2 = T. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид:
3-й случай. Корни T1 и T1 — комплексно сопряженные: T1 = a + bi, T2 = a - f3 i. Тогда общее решение зависывается так:
Пример 4.16. Найти общее решение уравнения
Решение. Запишем характеристическое уравнение; для этого заменим функцию у и ее производные у' и у" соответствующими степенями T: T0 = 1, T и T2. Тогда получим
откуда T1 = -1, T2 = 6. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (3) имеет вид:
Пример 4.17. Найти общее решение уравнения 
Решение. Составляем характеристическое уравнение
198
из которого находим r^ = 2. Характеристическое уравнение имеет равные действительные корни, поэтому согласно формуле (4) общее решение запишется следующим образом:
у = e2x(C1 + Cx).
Пример 4.18. Найти общее решение уравнения
у" + 9у = 0.
Решение. Этому уравнению соответствует характеристическое уравнение
r2 + 9 = 0,
имеющее два мнимых сопряженных корня r1 2 = ±3i. Используя формулу (5) при a = 0 и b = 3, получаем общее решение
у = C1 cos 3x + С2 sin 3x.
Пример 4.19. Найти общее решение уравнения у" + 6у' + 25у = 0.
Решение. Характеристическое уравнение r2 + 6r + 25 = 0
у = e-3x(C1 cos 4x + C2 sin 4x).
имеет два комплексно сопряженных корня r1 2 = -3 ± 4i. По формуле (5) при a = -3 и b = 4, получаем общее решение
Пример 4.20. Найти частное решение уравнения у" - 3у' + 2у = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям у(0) = 1,
у' (0) = -1.
Решение. Запишем характеристическое уравнение r2 - 3r + 2 = 0
его корни r1 = 1, r2 = 2. Следовательно, общее решение имеет вид:
Далее, используя начальные условия, определяем значения постоянных С и С2 Для этого подставим в общее решение заданные значения х = 0, у = 1; в результате получим одно из уравнений, связывающее С1 и С2:
1 = С1 + С2.
Второе уравнение относительно С1 и С2 получим следующим образом. Продифференцируем общее решение:
у' = С1ех + 2С2е2х
и подставим в найденное выражение заданны е значения х = 0, У' = -1:
-1 = С1 + 2С2.
Из системы
находим С1 = 3, С2 = -2. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
у = 3ех - 2е2х.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
