Вариант № 29

Задача 1(см. рис. 1)

1) 2)

Задача 2

Пусть , т. е. ; след., вектор .

Задача 3

Рассм. в (см. рис.):

; ; ;

; ; ;

; ; ;

Вычислим косинусы внутр. углов :

;

;

Все углы острые, причём , след., - наименьший внутренний угол .

Задача 4

Пусть искомый вектор ;

1) , т. е. ; , (1)

2) рассм. в-р ;

По усл-ю, , т. е. , (2)

3) рассм. , , (3)

Решив с-му ур-й (1) – (3), определим корд. в-ра :

(1) ; (2) ; подст. в (3) : ;

; , , ; След., искомый вектор .

Задача 5

Дано: векторы ; ; ;

Рассм. диагонали параллелограмма, построенного на в-рах (см. рис.) :

;

;

Искомый угол между в-рами опр-м из рав-ва: ;

Вычислим

;

; ;

; ; ; .

Задача 6

1) , где;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 7

Рассм. скал. произведение ;

Вект. произведение ;

.

Задача 8

Пусть искомая вершина тетраэдра (т. к. т.) ;

Рассм. в-ры: ;

Рассм. смешанное произв-е:

;

Рассм. объём тетраэдра : ; ; ; ; ; ;

След., возможные положения искомой т. : ; .

Задача 9

Пусть искомая т. (см. рис.);

1)

2)

Решим с-му ур-й (1),(2) и опред. коорд. т. М:

;

Вычислим угол : Рассм. в – ры

.

Задача 10

Определить площадь квадрата, если известны его вершина и уравнение стороны .

Очевидно, сторона данного квадрата равна расстоянию от вершины до стороны ;

Рассм. нормальный вектор Прямой ;

Рассм. т.; рассм. вектор ;

Искоиое расстояние равно модулю проекции вектора на направление вектора :

Вычислим ;

; Площадь квадрата равна

Задача 11

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к двум плоскостям: .

Пусть - искомая плоскость; рассм. норм. векторы

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

.

Задача 12

Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей: .

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой : ;

Рассм. ;

Определим какую-либо точку ; рассм.

Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т.

Параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 13

Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую и т..

Направл. в-р прямой есть ; рассм. И рассм. вектор ; вект. произв-е Будет нормальным вектором искомой плоскости :

Вычислим ;

Теперь запишем ур-е пл-ти Как пл-ти, проходящей через т. перпендикулярно вектору : рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

,

Т. е.

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам: уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1) вычисление определителя 3-го порядка:

А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б)разложение по 2-му столбцу:

2)Вычисление определителя 4-го порядка:

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) ,

Где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы :

,

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

; , , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение : ;

3)решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

; решение системы в коорд. форме:

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

;

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободными переменными и выпишем решение системы в коорд. форме:

;

решение данной системы ур-й:

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор-столбцы имеют вид:

;

Рассм. ;

Вычислим матрицу

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и

приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

.

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .

;

;

; , - пара пересекающихся прямых (прямые пересекаются

В точке ) .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

; ; ; ; перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - параболический цилиндр.

Задача 26

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм. пусть , тогда вектор ;

Б) рассм.

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

В) рассм.

Рассм. Пусть , тогда вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >