Вариант № 29
Задача 1(см. рис. 1)
1) 2)
Задача 2
Пусть , т. е.
;
след., вектор
.
Задача 3
Рассм. в (см. рис.):
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Вычислим косинусы внутр. углов :
;
;
Все углы острые, причём
, след.,
- наименьший внутренний угол
.
Задача 4
Пусть искомый вектор ;
1) , т. е.
;
, (1)
2) рассм. в-р ;
По усл-ю, , т. е.
, (2)
3) рассм. ,
, (3)
Решив с-му ур-й (1) – (3), определим корд. в-ра :
(1) ; (2)
; подст. в (3) :
;
;
,
,
; След., искомый вектор
.
Задача 5
Дано: векторы ;
;
;
Рассм. диагонали параллелограмма, построенного на в-рах
(см. рис.) :
;
;
Искомый угол между в-рами
опр-м из рав-ва:
;
Вычислим
;
;
;
;
;
;
.
Задача 6
1) , где
;
;
2) ;
Направл. косинусы вектора :
;
;
.
Задача 7
Рассм. скал. произведение ;
Вект. произведение ;
.
Задача 8
Пусть искомая вершина тетраэдра (т. к. т.
) ;
Рассм. в-ры: ;
Рассм. смешанное произв-е:
;
Рассм. объём тетраэдра :
;
;
;
;
;
;
След., возможные положения искомой т. :
;
.
Задача 9
Пусть искомая т. (см. рис.);
1)
2)
Решим с-му ур-й (1),(2) и опред. коорд. т. М:
;
Вычислим угол : Рассм. в – ры
.
Задача 10
Определить площадь квадрата, если известны его вершина и уравнение стороны
.
Очевидно, сторона данного квадрата равна расстоянию от вершины
до стороны
;
Рассм. нормальный вектор Прямой
;
Рассм. т.; рассм. вектор
;
Искоиое расстояние равно модулю проекции вектора
на направление вектора
:
Вычислим ;
; Площадь квадрата равна
Задача 11
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к двум плоскостям:
.
Пусть - искомая плоскость; рассм. норм. векторы
Рассм. норм. вектор ;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 12
Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей:
.
Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой
:
;
Рассм. ;
Определим какую-либо точку ; рассм.
Положим , тогда
;
Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т.
Параллельно вектору :
; параметрические ур-я прямой
:
Задача 13
Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую
и т.
.
Направл. в-р прямой есть
; рассм.
И рассм. вектор
; вект. произв-е
Будет нормальным вектором искомой плоскости
:
Вычислим ;
Теперь запишем ур-е пл-ти Как пл-ти, проходящей через т.
перпендикулярно вектору
: рассм. произв. т.
и рассм. вектор
;
,
Т. е.
Задача 16
Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .
Перейдём к полярным координатам по формулам: уравнение кривой
Примет вид:
Задача 17
1) вычисление определителя 3-го порядка:
А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б)разложение по 2-му столбцу:
2)Вычисление определителя 4-го порядка:
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) ,
Где ;
;
;
Рассм. опред-ль матрицы :
,
след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр.
;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:
,
,
, где
,
;
;
,
,
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
Вектор–решение с-мы (1): ;
2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр.
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу :
,
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
; транспонируем м-цу
и получим «присоединённую» м-цу
;
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль
и получим обратную матр.
:
;
Находим теперь вектор-решение : ;
3)решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
; решение системы в коорд. форме:
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
;
Имеем ; так как
, то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как
, то система имеет бесконечное множество решений;
Объявим свободными переменными и выпишем решение системы в коорд. форме:
;
решение данной системы ур-й:
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы
и
Вектор-столбцы имеют вид:
;
Рассм. ;
Вычислим матрицу
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и
приведём её к ступенчатому виду:
;
Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.
Задача 23
Задан многочлен ;
А) найти корни многочлена;
Б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) ; разделим
На
:
Рассм. теперь ур – е ;
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .
;
;
;
, - пара пересекающихся прямых (прямые пересекаются
В точке ) .
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
;
;
; перейдём к новым координатам по формулам:
;
, - параболический цилиндр.
Задача 26
.
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
;
- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм. ;
Рассм.
пусть
, тогда вектор
;
Б) рассм.
Рассм.
Пусть , тогда
,
вектор
;
В) рассм.
Рассм.
Пусть
, тогда вектор
;
След. собств. векторы линейного преобразования суть:
;
;
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|