Вариант № 28

Задача 1(CМ. рис.)

Рассм.

Задача 2

Пусть , т. е. ;

след., вектор .

Задача 3

Рассм. векторы

;

Вычислим ;

; ;

Имеем , след., все углы Острые

И - наименьший внутренний угол ; .

Задача 4

Рассм. вектор ;

Пусть искомый вектор ; тогда по условию задачи должны выполняться

След. рав – ва: ;

;

; искомый вектор .

Задача 5

Рассм.

(так как угол - вписанный, а угол -центральный углы, опирающиеся на дугу );

Задача 6

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 7

Пусть ;

;

Рассм. ; ;

По условию задачи

Решим с-му ур-й (1) – (3) и опр-м координаты вектора :

;

Задача 8

Пусть искомая вершина тетраэдра (т. к. т.) ;

Рассм. в-ры: ;

Рассм. смешанное произв-е:

;

Рассм. объём тетраэдра : ; ; ; ; ; ;

След., возможные положения искомой т.: ; .

Задача 9

1)Пусть искомая точка ; по условию задачи

;

Решим с-му ур-й (1), (2) и опр-м координаты :

;

2) рассм. векторы

Задача 10

Две стороны параллелограмма лежат на прямых и .

Определить его высоту.

Очевидно, высота данного параллелограмма равна расстоянию между параллельными прямыми и ; рассм. нормальный вектор Прямой ( или );

Рассм. т. и т. ;

Рассм. вектор ;

Искоиая высота равна модулю проекции вектора на направление вектора :

Вычислим ;

Задача 11

Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям: .

Пусть - искомая плоскость; рассм. норм. векторы

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ; .

Задача 12

Составить параметрические ур-я прямой, проходящей

А) через

Б) через

А)Рассм. в-р

Запишем канонические ур-я прямой как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно

Вектору : ;

Параметрические ур-я прямой имеют вид:

Б)рассм. в-р

канонические ур-я прямой : ;

Параметрические ур-я прямой :

Задача 13

Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую параллельно прямой

Запишем канонич. уравнения прямых: ;

Направл. векторы прямых: ; ,

След. в качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор

;

Выберем точку ;

Составим теперь уравнение плоскости как плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку :

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам:

Уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1) вычисление определителя 3-го порядка:

А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

;

Б)разложение по 1-му столбцу:

;

2)вычисление определителя 4-го порядка:

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

; , , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение : .

3)решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

; решение системы в коорд. форме:

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

; Имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

;

общее решение данной системы ур-й:

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ; Вычислим матрицу

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .

; ;

;

, - пара пересекающихся прямых (прямые пересекаются в точке ) .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

; ; ; ;

;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - гиперболический цилиндр.

Задача 26

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

- собств. значения (действ.) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм.

Положим , тогда вектор ;

Б) рассм. Рассм.

Положим , тогда , вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >