Вариант № 27
Задача 1(см. рис. 1)
Рассм.
Задача 2
Пусть , т. е.
;
след., вектор
.
Задача 3
Рассм. векторы ;
;
.
Задача 4
Рассм. вектор ; пусть искомый вектор
;
;
Решим с – му ур – й (2), (3) и опр – м :
;
.
Задача 5
Рассм. вектор ;
Рассм. единичный направляющий вектор данной оси ;
;
Величину Вычислим из условия:
;
;
; по условию
, след.
, и, след.,
;
; Вычислим
;
.
Задача 6
1) , где
;
;
;
2) ; направл. косинусы вектора
:
;
;
.
Задача 7
Рассм. вектор
;
;
По условию задачи .
Задача 8
Пусть искомая вершина тетраэдра (т. к. т.
) ;
Рассм. в-ры: ;
Рассм. смешанное произв-е:
;
Рассм. объём тетраэдра :
;
;
;
;
;
;
След., возможные положения искомой т. :
;
.
Задача 9
Две стороны параллелограмма лежат на прямых . Определить его высоту.
Рассм. И рассм. вектор
;
Рассм. один из норм. в-ров прямой :
И рассм.
Вычислим
Искомая высота параллелограмма .
Задача 10
1) Пусть искомая точка ; по условию задачи
;
Решим с-му ур-й (1), (2) и опр-м координаты :
;
2) рассм. векторы ;
.
Задача 11
Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям: .
Пусть - искомая плоскость; рассм. норм. векторы
Рассм. норм. вектор ;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 12
Составить канонические и параметрические ур-я прямой, проходящей через т.
Параллельно вектору
Пусть - искомая прямая; запишем канонические ур-я прямой
Как ур-я прямой, проходящей
Через т. параллельно вектору
:
;
След. параметрические ур-я прямой имеют вид:
Задача 13
Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую
параллельно прямой
Запишем канонич. уравнения прямой ;
Направл. векторы прямых: ;
, След. В качестве нормального вектора плоскости
Можно взять вектор ;
Выберем точку ; составим теперь уравнение плоскости
как плоскости с нормальным вектором
, проходящей через точку
:
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 16
Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .
Перейдём к полярным координатам по формулам:
Уравнение кривой Примет вид:
Задача 17
1) вычисление определителя 4-го порядка:
А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б)разложение по 3-й строке:
2)вычисление определителя 4-го порядка:
.
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме:
, (1) , где
;
;
;
Рассм. определитель матрицы :
,
След., матрица - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матрицу
;
1) решим систему уравнений (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:
,
,
, где
,
;
;
;
;
решение с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
Вектор–решение с-мы (1): ;
2)получим решение с–мы ур–й (1) с помощью обратной матрицы :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр.
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу :
,
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
;
транспонируем матрицу и получим «присоединённую» матрицу
;
Разделим все элементы присоединённой матрицы на опр-ль
и получим обратную матрицу
:
;
Находим теперь вектор-решение: .
3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
;
Решение системы в коорд. форме:
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
;
Имеем ;
Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как
, то система имеет единственное решение;
Преобразуем матрицу к диагональному виду и выпишем решение данной системы:
решение данной системы ур-й:
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы
и вектор - столбцы
имеют вид:
;
Рассм. ;
Вычислим матрицу .
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.
Задача 23
Задан многочлен ;
А) найти корни многочлена;
Б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) ; разделим
На
:
Рассм. теперь ур – е ;
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .
;
;
;
, - пара пересекающихся прямых (прямые пересекаются в точке
) .
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
;
;
;
Перейдём к новым координатам по формулам: ;
, - двуполостный гиперболоид.
Задача 26
.
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
;
- собств. значения (действ.) лин. преобр-я
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм. ;
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
Пусть , тогда вектор
;
Б) рассм.
;
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
След., собств. векторы линейного преобразования суть:
;
;
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|