Вариант № 26

Задача 1(см. рис. 1)

1) 2)

Задача 2

Пусть , т. е. ; след. вектор .

Задача 3

Рассм. диагонали параллелограмма ;

Вычислим

;

Задача 4

Рассм. векторы ;

Пусть искомый вектор ; тогда по условию задачи должны выполняться след. рав – ва:

Решим с-му ур-й (1)-(3) методом Гаусса и опр - м коорд. вектора :

Задача 5

, след. вектор Можно представить в виде ;

По условию задачи ;

Вычислим .

Задача 6

1) , где ; ;

;

2) ; Направл. косинусы вектора :

; ; .

Задача 7

Рассм. векторы ; рассм. вектор

; ; .

Задача 8

Пусть искомая вершина тетраэдра (т. к. т.) ;

Рассм. в-ры: ;

Рассм. смешанное произв-е:

;

Рассм. объём тетраэдра :

; ; ;

След., возможные положения искомой т. : ; .

Задача 9

1) Определим координаты точки Как середины отрезка : ;

2) Определим координаты вершины , используя равенство , где ;

Рассм.

;

3) составим ур-е высоты : рассм. в-р ;

Рассм. т. и рассм. в-р ; тогда по условию задачи и и, след., ур-е прямой , проходящей через Перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: т. е. .

Задача 10

1) определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

2) определим координаты точки Из условия, что т. - середина отрезка :

;

3) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки : ;

4) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой ;

5) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой ;

6) определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

7) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки : .

Задача 11

Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям: .

Пусть - искомая плоскость;

Рассм. норм. векторы ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

Задача 12

Составить канонические и параметрические ур-я прямой, проходящей через т. перпендикулярно плоскости

Пусть - искомая прямая; , след. за её направл. вектор ; можно взять нормальный вектор плоскости ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т.Параллельно

Вектору : ;

Запишем параметрические ур-я прямой :

Задача 13

Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую параллельно прямой

Рассм. направл. векторы прямых: ;

, След. В качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор ;

Выберем точку ; составим теперь уравнение плоскости как плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку :

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам:

Уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1) вычисление определителя 3-го порядка:

А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б)разложение по 2-й строке:

;

2)вычисление определителя 4-го порядка:

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) ,

Где ; ; ;

Рассм. определитель матрицы : ,

След., матрица - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матрицу ;

1) решим систему уравнений (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

решение с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим решение с–мы ур–й (1) с помощью обратной матрицы :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем матрицу и получим

«присоединённую» матрицу ;

Разделим все элементы присоединённой матрицы на определитель и получим обратную

матрицу : ;

Находим теперь вектор-решение : .

3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

решение системы в коорд. форме:

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

;

общее решение данной системы ур-й:

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ; Вычислим матрицу

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением:

;

, - пара пересекающихся прямых (прямые пересекаются в точке ) .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

; ;

;

, - сфера с центром в точке и радиусом .

Задача 26

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм. ;

- собств. значения (действ.) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм. ;

Пусть , тогда вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >