Вариант № 25

Задача 1(см. рис. 1)

Рассм. .

Задача 2

Пусть , т. е. ;

след., вектор .

Задача 3

Рассм. диагонали параллелограмма ;

Вычислим ;

;

Задача 4

Рассм. ; ;

, след. - параллелограмм (так как две противоположные стороны параллельны и равны);

Рассм. ;

Рассм. ; , след. - большая сторона параллелограмма ; рассм. диагональ ;

Вычислим

Вычислим ; .

Задача 5

Рассм. векторы и ; по усл-ю задачи ;

Рассм.

;

, след., векторы и Не могут быть ортогональны ни при каком значении .

Задача 6

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 7

Рассм. векторы

Рассм. ;

;

;

;

Задача 8

Пусть искомая вершина тетраэдра (т. к. т.) ;

Рассм. в-ры: ;

Рассм. смешанное произв-е:

;

Рассм. объём тетраэдра : ; ; ; ; ; ;

След., возможные положения искомой т. : ; .

Задача 9

1) Определим координаты точки Как середины отрезка : ;

2) Определим координаты вершины , используя равенство , где ;

Рассм.

;

3) составим ур-е высоты : рассм. в-р ;

Рассм. т. и рассм. в-р ; тогда по условию задачи и и, след., ур-е прямой , проходящей через Перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: т. е. .

Задача 10

1) определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

2) определим координаты точки Из условия, что т. - середина отрезка :

;

3) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки : ;

4) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой ;

5) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой ;

6) определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

7) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки : .

Задача 11

Пусть - искомая плоскость;

Рассм. векторы ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

.

Задача 12

Составить канонические и параметрические ур-я прямой, проходящей через т.Параллельно прямой

Пусть - искомая прямая; запишем канонические ур-я прямой В виде: ; её направл. вектор ;

Направл. вектор прямой ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т.Параллельно вектору : ;

Запишем параметрические ур-я прямой :

Задача 13

Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую параллельно прямой

Рассм. направл. векторы прямых: ;

, След. В качестве нормального вектора плоскости можно

взять вектор ;

Выберем точку ; составим теперь уравнение плоскости как плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку :

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

.

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам: уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1) вычисление определителя 3-го порядка:

А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б)разложение по 1-й строке:

;

2)вычисление определителя 4-го порядка:

.

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы :

,

След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную

Матрицу ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

;

;

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение :

3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

Решение системы в коорд. форме:

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й несовместна.

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ;

Вычислим матрицу .

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

.

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .

; ;

;

, - пара пересекающихся прямых (прямые пересекаются в точке ) .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

;

;

;; ;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - конус с вершиной в точке .

Задача 26

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ.) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

Пусть , тогда , вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >