Вариант № 24
Задача 1(см. рис. 1)
Рассм.
Задача 2
Пусть , т. е.
;
след. вектор
.
Задача 3
Рассм. вектор
Рассм.
.
Задача 4
Рассм. вектор ;
Рассм. единичный направляющий вектор данной оси ;
;
Величины Вычислим из условия:
;
;
;
.
Задача 5
Рассм. векторы
;
;
Вычислим ;
;
;
Имеем , след., все углы
Острые и
- наименьший внутренний угол
;
.
Задача 6
1) , Где
;
;
2) ; направл. косинусы вектора
:
;
;
.
Задача 7
Рассм. векторы ;
;
.
Задача 8
Рассм. векторы
И рассм. смешанное произведение
;
Искомый объём пирамиды равен
.
Задача 9
1) Определим координаты точки Как середины отрезка
:
;
2) Определим координаты вершины , используя равенство
, где
;
Рассм.
;
3) составим ур-е высоты : рассм. в-р
;
Рассм. т. и рассм. в-р
; тогда по условию задачи
и
и, след., ур-е прямой
, проходящей через
Перпендикулярно в-ру
, можно записать в виде:
т. е.
.
Задача 10
1) определим координаты точки как точки пересечения прямых
:
;
2) определим координаты точки Из условия, что т.
- середина отрезка
:
;
3) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки
:
;
4) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку
Параллельно
Прямой ;
5) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку
Параллельно
Прямой ;
6) определим координаты точки как точки пересечения прямых
:
;
7) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки
:
.
Задача 11
Пусть - искомая плоскость;
Рассм. векторы ;
Рассм. норм. вектор ;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 12
Составить канонические и параметрические ур-я прямой, проходящей через т.Параллельно прямой
Пусть - искомая прямая; запишем канонические ур-я прямой
В виде:
;
Её направл. вектор ; направл. вектор прямой
;
Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т.
Параллельно вектору
:
;
Запишем параметрические ур-я прямой :
Задача 13
Составить уравнение плоскости , проходящей через точку
Параллельно двум прямым
Рассм. направл. векторы прямых: ;
, След. В качестве нормального вектора плоскости
можно взять вектор
;
Составим теперь уравнение плоскости как плоскости с нормальным вектором
, проходящей через точку
:
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 16
Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .
Перейдём к полярным координатам по формулам:
Уравнение кривой Примет вид:
Задача 17
1) вычисление определителя 3-го порядка:
A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б) разложение по 3-му столбцу:
2)вычисление определителя 4-го порядка:
.
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме:
, (1) , где
;
;
;
Рассм. опред-ль матрицы :
, след., матр.
- невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр.
;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:
,
,
, где
,
;
;
;
,
,
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
Вектор–решение с-мы (1): ;
2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр.
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу :
,
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
транспонируем м-цу
и получим «присоединённую» м-цу
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль
и получим обратную матр.
:
;
Находим теперь вектор-решение :
;
3)решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
;
Решение системы в коорд. форме:
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
;
Имеем ;
Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как
, то система имеет бесконечное множество решений;
Объявим свободными переменными и выпишем общее решение системы в коорд. форме:
;
общее решение данной системы ур-й:
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы
и вектор - столбцы
имеют вид:
;
Рассм. ;
Вычислим матрицу .
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
ранг матрицы
, след. данная система векторов линейно независима.
Задача 23
Задан многочлен ;
А) найти корни многочлена;
Б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) ; разделим
На
:
Рассм. теперь ур – е ;
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .
;
;
;
, - гипербола с центром в точке
.
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
;
;
;
;
Перейдём к новым координатам по формулам: ;
, - эллиптический параболоид.
Задача 26
.
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
рассм.
;
- собств. значения (действ.) лин. преобр-я
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм. ;
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
Б) рассм.
;
Рассм.
Пусть , тогда
,
вектор
;
Пусть , тогда
,
вектор
;
След., собств. векторы линейного преобразования суть:
;
;
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|