Вариант № 23

Задача 1(см. рис. 1)

Задача 2

Пусть , т. е. ;

след. вектор .

Задача 3

Пусть - искомый угол между векторами ; рассм. векторы ;

По усл-ю задачи , т. е.

.

Задача 4

Рассм. вектор ;

Рассм. единичный направляющий вектор данной оси ; ;

Величину Вычислим из условия: ;

; ;

; .

Задача 5

Вычислим

; .

Задача 6

1) , где ; ;

;

2) ; направл. косинусы вектора :

; ; .

Задача 7 Рассм. векторы

; Вычислим ;

.

Задача 8

Рассм. векторы

И рассм. смешанное произведение

;

Искомый объём пирамиды равен .

Задача 9

1) определим угол из равенства: ;

Рассм. векторы ; вычислим ; ;

2)составим уравнение средней линии ; вычислим координаты точек : ;

;

Составим теперь уравнение прямой : .

Задача 10

Найти площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых и .

Очевидно, сторона данного квадрата равна расстоянию Между параллельными прямыми и ;

Рассм. нормальный вектор Прямой ( или );

Рассм. т. и т. ; рассм. вектор ;

Искоиое расстояние равно модулю проекции вектора на направление вектора :

Вычислим ;

; Площадь квадрата равна

Задача 11

Пусть - искомая плоскость;

Рассм. векторы ;

Рассм. норм. вектор

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

.

Задача 12

Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей: .

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой : ;

Определим какую-либо точку ; рассм.

Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т.

Параллельно вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Задача 13

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку Параллельно двум прямым

Запишем канонические уравнения прямой ;

Направл. векторы прямых: ; , След. В качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор ;

Выберем ;

Составим теперь уравнение плоскости как плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку : рассм. произв. т. и рассм. вектор ; ,

Т. е. ; .

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам: уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1) вычисление определителя 3-го порядка:

A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б) разложение по 2-му столбцу:

;

2)вычисление определителя 4-го порядка:

.

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

След., матр. - невырожденная и можно примен. формулы Крамера и вычислять обратную матр.

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , ,

Где ,

;

;

; , ,;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение :

3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

;

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

; Имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободными переменными и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

общее решение данной системы ур-й:

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ; Вычислим матрицу

.

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

.

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .

;

;

; , - гипербола с центром в точке .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

; ;

; ;

; ;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - гиперболический цилиндр.

Задача 26

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм.

рассм.

Пусть , тогда вектор

В) рассм.

; рассм.

Пусть , тогда вектор след., собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >