Вариант № 22
Задача 1(см. рис. 1)
Рассм. 
и рассм. 
.
Задача 2
Пусть 
, т. е. 
; 
след. вектор 
.
Задача 3
Вычислим
.
Задача 4
Рассм. вектор 
;
Рассм. единичный направляющий вектор данной оси 
; 
;
Величину 
Вычислим из условия: 
;
; 
; 
;
; Вычислим 
; 
.
Задача 5
Рассм. вектор 
;
; Вычислим 
; 
.
Задача 6
1) 
, где 
; 
;
;
2) 
; направл. косинусы вектора 
:
; 
; 
.
Задача 7
Рассм. вектор 
;
Задача 8
Рассм. векторы 
и рассм. смешанное произведение
;
Искомый объём пирамиды 
равен 
.
Задача 9
1) определим угол 
из равенства: 
;
Рассм. векторы 
;
Вычислим 
;
;
2)составим уравнение средней линии 
;
Вычислим координаты точек 
: 
;
;
Составим теперь уравнение прямой 
: 
.
Задача 10
Найти площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых 
и 
.
Очевидно, сторона данного квадрата равна расстоянию 
Между параллельными прямыми 
и 
;
Рассм. нормальный вектор 
Прямой ( или );
Рассм. т.
и т. 
; рассм. вектор 
;
Искоиое расстояние равно модулю проекции вектора 
на направление вектора 
:
Вычислим 
;
; площадь квадрата равна 
Задача 11
Пусть 
- искомая плоскость; рассм. вектор 
;
Рассм. направл. вектор оси 
;
Рассм. норм. вектор 
;
Рассм. произв. т.
и рассм. вектор 
;
, т. е. 
;
.
Задача 12
Составить уравнение медианы треугольника 
, проведённой из вершины 
, если 
и 
.
1)Определим координаты точки 
(середины стороны 
):
2)составим уравнение медианы 
Треугольника Как уравнение прямой, проходящей через точки 
:
.
Задача 13
Составить уравнение плоскости 
, проходящей через точку 
Параллельно прямым 
Запишем канонические уравнения прямых 
Направл. векторы прямых: 
;
, След. В качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор 
;
Выберем 
;
Составим теперь уравнение плоскости как плоскости с нормальным вектором 
, проходящей через точку :
Рассм. произв. т. и рассм. вектор 
;
, т. е. 
;
.
Задача 16
Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: 
.
Перейдём к полярным координатам по формулам: 
Уравнение кривой 
Примет вид: 
Задача 17
1) вычисление определителя 3-го порядка: 
;
А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б)разложение по 1-му столбцу:
;
2)вычисление определителя 4-го порядка:
.
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме:
, (1) , где 
; 
; 
;
Рассм. опред-ль матрицы 
: 
,
След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную
Матр. 
;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:
, 
, 
, где 
,
;
; 
, 
, 
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: 
Вектор–решение с-мы (1): 
;
2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу : 
, 
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения 
для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу 
:
; транспонируем м-цу 
и получим
«присоединённую» м-цу 
;
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы 
на опр-ль 
и получим обратную матр. 
:
;
Находим теперь вектор-решение 
:
;
3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
Решение системы в коорд. форме: 
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
Имеем 
; так как 
, то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как 
, то система имеет бесконечное множество решений;
Объявим 
свободными переменными и выпишем общее решение системы в коорд. форме:
;
общее решение данной системы ур-й: 
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: 
, где матрицы 
и вектор - столбцы 
имеют вид:
;
Рассм. 
;
Вычислим матрицу 
.
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов 
методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
;
Ранг матрицы 
, след. данная система векторов линейно независима.
Задача 23
Задан многочлен 
;
А) найти корни многочлена;
Б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) 
; разделим 
На 
:
Рассм. теперь ур – е 
; 
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением: 
.
;
; 
;
; 
;
, - гипербола с центром в точке 
.
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
;
;
;
;
Перейдём к новым координатам по формулам: 
;
, - однополостный гиперболоид.
Задача 26
.
1) Находим собств. значения 
линейного преобразования 
, т. е. корни характеристического уравнения 
:
Рассм. 
;
- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я 
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям 
:
А) рассм. 
;
Рассм. 
Пусть 
, тогда вектор 
;
Б) рассм. 
Рассм. 
Пусть 
, тогда 
, 
вектор 
;
В) рассм. 
;
рассм. 
Пусть 
, тогда 
, 
вектор 
;
След., собств. векторы линейного преобразования суть:
; 
; .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
