Вариант № 22
Задача 1(см. рис. 1)
Рассм. и рассм.
.
Задача 2
Пусть , т. е.
;
след. вектор
.
Задача 3
Вычислим
.
Задача 4
Рассм. вектор ;
Рассм. единичный направляющий вектор данной оси ;
;
Величину Вычислим из условия:
;
;
;
;
; Вычислим
;
.
Задача 5
Рассм. вектор ;
; Вычислим
;
.
Задача 6
1) , где
;
;
;
2) ; направл. косинусы вектора
:
;
;
.
Задача 7
Рассм. вектор ;
Задача 8
Рассм. векторы и рассм. смешанное произведение
;
Искомый объём пирамиды равен
.
Задача 9
1) определим угол из равенства:
;
Рассм. векторы ;
Вычислим ;
;
2)составим уравнение средней линии ;
Вычислим координаты точек :
;
;
Составим теперь уравнение прямой :
.
Задача 10
Найти площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых и
.
Очевидно, сторона данного квадрата равна расстоянию Между параллельными прямыми
и
;
Рассм. нормальный вектор Прямой
( или
);
Рассм. т. и т.
; рассм. вектор
;
Искоиое расстояние равно модулю проекции вектора
на направление вектора
:
Вычислим ;
; площадь квадрата равна
Задача 11
Пусть - искомая плоскость; рассм. вектор
;
Рассм. направл. вектор оси ;
Рассм. норм. вектор ;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 12
Составить уравнение медианы треугольника , проведённой из вершины
, если
и
.
1)Определим координаты точки (середины стороны
):
2)составим уравнение медианы Треугольника
Как уравнение прямой, проходящей через точки
:
.
Задача 13
Составить уравнение плоскости , проходящей через точку
Параллельно прямым
Запишем канонические уравнения прямых
Направл. векторы прямых: ;
, След. В качестве нормального вектора плоскости
можно взять вектор
;
Выберем ;
Составим теперь уравнение плоскости как плоскости с нормальным вектором
, проходящей через точку
:
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 16
Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .
Перейдём к полярным координатам по формулам:
Уравнение кривой Примет вид:
Задача 17
1) вычисление определителя 3-го порядка: ;
А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б)разложение по 1-му столбцу:
;
2)вычисление определителя 4-го порядка:
.
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме:
, (1) , где
;
;
;
Рассм. опред-ль матрицы :
,
След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную
Матр. ;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:
,
,
, где
,
;
;
,
,
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
Вектор–решение с-мы (1): ;
2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр.
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу :
,
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
; транспонируем м-цу
и получим
«присоединённую» м-цу ;
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль
и получим обратную матр.
:
;
Находим теперь вектор-решение :
;
3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
Решение системы в коорд. форме:
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
Имеем ; так как
, то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как
, то система имеет бесконечное множество решений;
Объявим свободными переменными и выпишем общее решение системы в коорд. форме:
;
общее решение данной системы ур-й:
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы
и вектор - столбцы
имеют вид:
;
Рассм. ;
Вычислим матрицу .
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
;
Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.
Задача 23
Задан многочлен ;
А) найти корни многочлена;
Б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) ; разделим
На
:
Рассм. теперь ур – е ;
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .
;
;
;
;
;
, - гипербола с центром в точке
.
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
;
;
;
;
Перейдём к новым координатам по формулам: ;
, - однополостный гиперболоид.
Задача 26
.
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
;
- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм. ;
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
Б) рассм.
Рассм.
Пусть , тогда
,
вектор
;
В) рассм.
;
рассм.
Пусть , тогда
,
вектор
;
След., собств. векторы линейного преобразования суть:
;
;
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|