Вариант № 21
Задача 1(см. рис. 1)
Рассм. 
;
Рассм. 
;
.
Задача 2
Пусть 
, т. е. 
; 
след., вектор 
.
Задача 3
Вычислим
.
Задача 4
Рассм. вектор 
;
Рассм. единичный направляющий вектор данной оси 
; 
;
Величину 
Вычислим из условия: 
;
; 
; 
;
;
Вычислим 
; 
.
Задача 5
рассм. един. напр. вектор оси 
;
Опр – м его координаты из условий: 
;
Вычислим 
; 
.
Задача 6
1) 
, где 
; 
;
;
2) 
;
Направл. косинусы вектора 
: 
; 
; 
.
Задача 7
Пусть 
, причём 
( т. к. 
образует тупой угол с осью OY );
;
;
Решим с-му ур-й (1) – (3) и опр-м координаты вектора : 
;
Но 
, след. выбираем 
, т. е. 
и 
; 
.
Задача 8
Рассм. векторы 
И рассм. смешанное произведение
;
Объём пирамиды 
равен 
.
Задача 9
1) определим угол 
из равенства: 
;
Рассм. векторы 
;
Вычислим 
;
;
2)составим уравнение средней линии 
; вычислим координаты точек 
: 
;
;
Составим теперь уравнение прямой 
:
.
Задача 10
1) определим координаты точки 
как точки пересечения прямых 
:
;
2) определим координаты точки 
из условия, что т.
- середина отрезка 
:
;
3) составим уравнение прямой как прямой, проходящей через точки 
: 
;
4) составим уравнение стороны 
как прямой, проходящей через точку 
Параллельно
Прямой 
;
5) составим уравнение стороны 
как прямой, проходящей через точку Параллельно
Прямой 
;
6) определим координаты точки 
как точки пересечения прямых 
:
;
7) составим уравнение диагонали 
как прямой, проходящей через точки 
: 
.
Задача 11
Пусть 
- искомая плоскость; рассм. векторы 
Рассм. норм. вектор 
Рассм. произв. т.
и рассм. вектор 
;
, т. е. 
;
.
Задача 12
Составить уравнение медианы треугольника 
, проведённой из вершины 
, если 
и 
.
1)Определим координаты точки 
(середины стороны ):
2)составим уравнение медианы 
Треугольника Как уравнение прямой, проходящей через точки 
:
.
Задача 13
Составить уравнение плоскости 
, проходящей через точку 
Параллельно прямым 
Рассм. направл. векторы прямых: 
;
, След. В качестве нормального вектора плоскости можно
Взять вектор 
;
Выберем 
; составим теперь уравнение плоскости как плоскости с нормальным вектором 
, проходящей через точку :
Рассм. произв. т. и рассм. вектор 
;
, т. е. 
;
.
Задача 16
Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: 
.
Перейдём к полярным координатам по формулам: 
Уравнение кривой 
Примет вид: 
Задача 17
1) вычисление определителя 3-го порядка: 
A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б) разложение по 3-й строке:
;
2)вычисление определителя 4-го порядка:
.
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме:
, (1) , где 
; 
; 
;
Рассм. определитель матрицы : 
,
след., матрица - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матрицу 
;
1) решим систему ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:
, 
, 
, где 
,
;
;
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: 
вектор–решение с-мы (1): 
;
2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр. 
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу : 
, 
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения 
для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу 
:
транспонируем м-цу 
и получ. «присоединённую» м-цу 
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы 
на опр-ль 
и получим обратную матр. 
:
;
Находим теперь вектор-решение: 
3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
; решение системы в коорд. форме: 
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
Имеем 
; так как 
, то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как 
, то система имеет бесконечное множество решений;
Объявим 
свободной переменной и выпишем общее решение системы в коорд. форме:
;
общее решение данной системы ур-й: 
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: 
, где матрицы 
и вектор - столбцы 
имеют вид:
;
Рассм. 
;
Вычислим матрицу 
.
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов 
методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
Ранг матрицы 
, след. данная система векторов линейно независима.
Задача 23
Задан многочлен 
;
А) найти корни многочлена;
Б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) 
; разделим 
На 
:
Рассм. теперь ур – е 
; 
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением: 
.
;
; 
;
; 
; 
, - гипербола
С центром в точке 
.
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
; 
;
; 
;
Перейдём к новым координатам по формулам: 
; 
,
- гиперболический цилиндр.
Задача 26
1) Находим собств. значения 
линейного преобразования , т. е. корни
Характеристического уравнения 
: Рассм.
;
- собств. значения (действ. и различные) лин. преобр-я 
;
2) находим собств. векторы 
линейного преобразования , соотв. собств. значениям 
:
А) рассм. 
рассм. 
Пусть 
, тогда вектор 
;
Б) рассм. 
;
Рассм. 
Пусть 
, тогда вектор 
;
В) рассм. 
;
Рассм. 
Пусть 
, тогда вектор 
;
След., собств. векторы линейного преобразования суть:
; ; 
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
