Вариант № 19
Задача 1(см. рис. 1)
Рассм.
Рассм.
Задача 2
Пусть , т. е.
;
след., вектор
.
Задача 3
Вычислим
.
Задача 4
Рассм. вект. ; пусть
- напр. вектор оси;
;
определим из условия:
;
;
;
;
,
По условию , след.
, след.,
;
вычислим
;
;
.
Задача 5
Доказать, что векторы и
Взаимно перпендикулярны.
Рассм. скалярное пр - е .
Задача 6
1) , где
;
;
;
;
2) ; Направл. косинусы вектора
:
;
;
.
Задача 7
Рассм. ;
Рассм.
;
;
Задача 8
Можно ли векторы взять за базисные в трёхмерном пространстве?
Рассм. смешанное произведение
; след., векторы
не компланарны, т. е. они линейно независимы и их можно взять за базисные векторы в трёхмерном пространстве.
Задача 9
1)составим ур-е высоты : рассм. в-р
;
Рассм. т. и рассм. в-р
; тогда по условию задачи
и
и, след., ур-е прямой
, проходящей через
Перпендикулярно в-ру
, можно записать в виде:
т. е.
;
;
2) определим острый угол между прямыми
по ф-ле:
, где
, а
;
.
Задача 10
1) Рассм. в-ры ;
2) Рассм. в-ры ;
Площадь трапеции ;
Вычислим ;
;
;
;
.
Задача 11
Пусть - искомая плоскость; рассм. направл. вектор оси
;
Рассм. вектор ;
Рассм. норм. вектор ;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 12
Через точку провести прямую
, параллельную двум плоскостям:
.
Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой
:
;
Рассм. ; запишем канонические ур-я прямой
Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору
:
;
Параметрические ур-я прямой :
Задача 13
Составить уравнение высоты, опущенной из вершины треугольной пирамиды
на основание
, если
Рассм. векторы ;
Рассм. векторное произв-е ;
Рассм. ;
Вектор перпендикулярен плоскости основания
, след. его можно взять в качестве направл. вектора искомой высоты
пирамиды
;
Составим теперь уравнение высоты Как уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно вектору
:
.
Задача 16
Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .
Перейдём к полярным координатам по формулам:
Уравнение кривой Примет вид:
Задача 17
1) вычисление определителя 3-го порядка:
A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б) разложение по 1-й строке:
;
2)Вычисление определителя 4-го порядка:
.
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме:
, (1) , где
;
;
;
Рассм. опред-ль матрицы :
,
след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную
Матр. ;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:
,
,
, где
,
;
;
;
,
,
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
вектор–решение с-мы (1):
;
2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр.
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу :
,
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
; транспонируем м-цу
и получим «присоединённую» м-цу
разделим все эл-ты присоедин. м-цы
на опр-ль
и получим обратную матр.
:
;
Находим теперь вектор-решение :
.
3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
;
Решение системы в коорд. форме:
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
;
Имеем ; так как
, то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как
, то система имеет единственное решение;
Выпишем решение системы в коорд. форме:
;
решение данной системы ур-й:
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы
и вектор - столбцы
имеют вид:
;
Рассм. ; Вычислим матрицу
.
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
;
Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.
Задача 23
Задан многочлен ;
А) найти корни многочлена; б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) ; разделим
На
:
Рассм. теперь ур – е ;
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .
;
;
;
, - гипербола с центром в точке
.
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
;
;
;
;
Перейдём к новым координатам по формулам: ;
, - конус с вершиной в точке
.
Задача 26
.
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
;
- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм.
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
Б) рассм. ;
Рассм.
Пусть , тогда
,
вектор
;
В) рассм. ;
рассм.
Пусть , тогда
,
вектор
;
След., собств. векторы линейного преобразования суть:
;
;
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|