Вариант № 18

Задача 1(см. рис. 1)

Задача 2

Пусть , т. е. ;

след., вектор .

Задача 3

Угол между векторами Определим из равенства: ;

Вычислим ;

Рассм. ;

; ;

Угол между векторами Определим из равенства: ;

Вычислим ; ; .

Задача 4

Вект. ; ;

Вычислим ; ; .

Задача 5

Пусть искомый вектор ; Откуда получ. ;

;

; по условию задачи, вектор Образует острый угол с осью , след., И след. искомый вектор .

Задача 6

1) , где ; ;

;

2) ; направл. косинусы вектора :

; ; .

Задача 7

Пусть , причём ( т. к. образует острый угол с осью OX );

;

Решим с-му ур-й (1) – (3) и опр-м координаты вектора :

;

Но , след. выбираем , т. е. ; .

Задача 8

При каком значении точки будут лежать в одной плоскости?

Рассм. векторы ;

Рассм. смешанное произведение

; след., при векторы компланарны и точки лежат в одной плоскости.

Задача 9

1)составим ур-е высоты : рассм. в-р ;

Рассм. т. и рассм. в-р ; тогда по условию задачи и и, след., ур-е прямой , проходящей через Перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: т. е. ; ;

2) определим острый угол между прямыми по ф-ле: , где , а ;

Задача 10

1) Рассм. в-ры ;

2) Рассм. в-ры ;

Площадь трапеции ;

Вычислим ;

;

; .

Задача 11

Пусть - искомая плоскость; рассм. направл. вектор оси ;

Рассм. вектор ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

Задача 12

Через точку провести прямую , параллельную двум плоскостям: .

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой : ;

Рассм. ; запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Задача 13

Составить уравнение высоты, опущенной из вершины треугольной пирамиды на основание , если

Рассм. векторы ; рассм. векторное произв-е ;

Рассм. ; вектор перпендикулярен плоскости основания , след. его можно взять в качестве направл. вектора искомой высоты пирамиды ;

Составим теперь уравнение высоты Как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору : .

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам:

Уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1) вычисление определителя 3-го порядка:

А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

;

Б)разложение по 3-му столбцу:

;

2)вычисление определителя 4-го порядка:

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную

матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

; , , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение : ;

3)решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

;

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

;

Имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободными переменными и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

;

общее решение данной системы ур-й:

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ;

Вычислим матрицу

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .

;

; , - гипербола с центром в точке .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

;

; ;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - двуполостный гиперболоид.

Задача 26

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

; Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм.

; Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

В) рассм.

; рассм.

Пусть , тогда вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >