Вариант № 17
Задача 1(см. рис. 1)
Рассм.
.
Задача 2
Пусть , т. е.
;
след., вектор
.
Задача 3
Пусть - искомый угол между векторами
; по усл-ю задачи
,
Т. е.
.
Задача 4
Рассм. ;
вычислим
;
;
.
Задача 5
Так как вектор , то его координаты можно записать в виде:
;
По условию задачи вектор образует тупой угол с осью
, след.,
, т. е.
;
Рассм. ;
Но ;
.
Задача 6
1) , где
;
;
2) ;
Направл. косинусы вектора :
;
;
.
Задача 7
Площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна модулю векторного произведения этих векторов
;
Рассм. ;
;
По условию .
Задача 8
Точки Лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы
Компланарны (т. е. их смешанное произведение
);
Рассм. ;
;
Задача 9
1)составим ур-е высоты : рассм. в-р
;
Рассм. т. и рассм. в-р
; тогда по условию задачи
и
и, след., ур-е прямой
, проходящей через
Перпендикулярно в-ру
, можно записать в виде:
т. е.
;
;
2) определим острый угол между прямыми
по ф-ле:
, где
, а
;
.
Задача 10
1) Составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку
Параллельно
Прямой ;
2) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку
Параллельно
Прямой ;
3) определим площадь ромба :
Определим координаты точки как точки пересечения прямых
:
;
Определим координаты точки как точки пересечения прямых
:
;
Рассм. векторы: ;
Рассм. векторное произведение: ;
; площадь ромба
равна
.
Задача 11
Пусть - искомая плоскость; рассм. направл. вектор оси
;
Рассм. вектор ;
Рассм. норм. вектор ;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 12
Через точку провести прямую
, параллельную двум плоскостям:
.
Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой
:
;
Рассм. ; запишем канонические ур-я прямой
Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору
:
;
Параметрические ур-я прямой :
Задача 13
Составить уравнение высоты, опущенной из вершины треугольной пирамиды
на основание
, если
Рассм. векторы ; рассм. векторное произв-е
;
Рассм. ; вектор
перпендикулярен плоскости основания
, след. его можно взять в качестве направл. вектора искомой высоты
пирамиды
;
Составим теперь уравнение высоты Как уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно вектору
:
.
Задача 16
Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .
Перейдём к полярным координатам по формулам:
Уравнение кривой Примет вид:
Задача 17
1) вычисление определителя 3-го порядка:
A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б) разложение по 2-му столбцу:
;
2)вычисление определителя 4-го порядка:
.
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме:
, (1) , где
;
;
;
Рассм. опред-ль матрицы :
,
след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную
матр. ;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: ,
,
,
Где ,
;
;
;
,
,
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
Вектор–решение с-мы (1): ;
2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр.
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу :
,
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
транспонируем м-цу
и получим «присоединённую» м-цу
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль
и получим обратную матр.
:
;
Находим теперь вектор-решение :
;
3)решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
;
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
;
Имеем ;
Так как , то по теореме Кронекера-Капелли данная система ур-й совместна, а так как
, то система имеет бесконечное множество решений;
Объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в коорд. форме:
общее решение данной системы ур-й:
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы
и
Вектор-столбцы имеют вид:
;
Рассм. ;
Вычислим матрицу
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
;
Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.
Задача 23
Задан многочлен ;
А) найти корни многочлена;
Б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) ; разделим
На
:
Рассм. теперь ур – е ;
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .
;
;
;
, - гипербола с центром в точке
.
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
;
;
;
;
Перейдём к новым координатам по формулам: ;
, - эллипсоид с центром в точке
и полуосями
.
Задача026
.
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
;
- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм. ;
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
Б) рассм.
;
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
В) рассм.
;
рассм.
Пусть , тогда вектор
;
След., собств. векторы линейного преобразования суть:
;
;
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|