Вариант № 10

Задача 1(см. рис. 1)

Задача 2

Пусть , т. е. ; след., вектор .

Задача 3

Вычислим

Задача 4

Вект. ; рассм. ;

Вычислим ; ; .

Задача 5

Рассм. векторы и ; по усл-ю задачи ;

Рассм.

Задача 6

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 7

Рассм. вектор ;

По условию задачи, искомый вектор , след., его можно записать в виде ;

По условию , т. е.

Искомый вектор .

Задача 8

Лежат ли точки в одной плоскости?

Рассмотрим векторы И рассмотрим смешанное произведение , след., векторы Компланарны и, след., точки лежат в одной плоскости.

Задача 9

Найти точку , симметричную точке Относительно прямой .

Рассмотрим один из нормальных векторов прямой ; его можно взять в качестве направляющего вектора прямой и записать уравнение прямой в виде:

или определим координаты точки пересечения прямых И : ;

Определим теперь координаты искомой точки из условия, что т. есть середина отрезка :

Задача 10

1) составим ур-я диагоналей квадрата как ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т.

И составляющих угол со стороной ( ),

Т. е. прямых, для которых вып-ся след. соотношения:

А) рассм. случай

;

Б) рассм. случай

;

2) определим координаты вершин квадрата:

Т.- точка пересечения прямых : ;

Т.- точка пересечения прямых : ;

Координаты точки определим из условия, что т.Есть середина отрезка :

;

Координаты точки определим из условия, что т.Есть середина отрезка :

Задача 11

Пусть - искомая плоскость;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

Задача 12

Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей: .

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой :

;

Рассм. ; определим какую-либо точку ;

Рассм. Положим , тогда

; запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Задача 13

Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки

На плоскость .

Пусть т. - искомое основание перпендикуляра и - искомый перпендикуляр к плоскости ;

В качестве направл. вектора прямой возьмём нормальный вектор плоскости : и запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через

т. А параллельно вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Определим координаты т. как точки пересечения прямой с плоскостью :

;

Задача 16 Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам:

Уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1) вычисление определителя 3-го порядка: .

A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б) разложение по 1-ому столбцу:

;

2)вычисление определителя 4-го порядка:

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы :

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , ,

Где ,

;

, , ; реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. : , след.,

Матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим

«присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение : ;

3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

;

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й несовместна.

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: ,

где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ; Вычислим матрицу

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы R(A)=4 , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .

; ;

, - парабола с вершиной в точке .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

; ;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - гиперболический цилиндр.

Задача 26

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Пусть , тогда вектор ;

В) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >