Вариант № 10
Задача 1(см. рис. 1)
1)
2)
Задача 2
Пусть , т. е.
;
след., вектор
.
Задача 3
Вычислим
.
Задача 4
Вект. ; рассм.
;
Вычислим
;
;
.
Задача 5
Рассм. векторы и
; по усл-ю задачи
;
Рассм.
.
Задача 6
1) , где
;
;
;
2) ;
Направл. косинусы вектора :
;
;
.
Задача 7
Рассм. вектор ;
По условию задачи, искомый вектор , след., его можно записать в виде
;
По условию , т. е.
Искомый вектор
.
Задача 8
Лежат ли точки в одной плоскости?
Рассмотрим векторы И рассмотрим смешанное произведение
, след., векторы
Компланарны и, след., точки
лежат в одной плоскости.
Задача 9
Найти точку , симметричную точке
Относительно прямой
.
Рассмотрим один из нормальных векторов прямой ; его можно взять в качестве направляющего вектора прямой
и записать уравнение прямой
в виде:
или
определим координаты точки
пересечения прямых
И
:
;
Определим теперь координаты искомой точки из условия, что т.
есть середина отрезка
:
.
Задача 10
1) составим ур-я диагоналей квадрата как ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т.
И составляющих угол со стороной
(
),
Т. е. прямых, для которых вып-ся след. соотношения:
А) рассм. случай
;
Б) рассм. случай
;
2) определим координаты вершин квадрата:
Т.- точка пересечения прямых
:
;
Т.- точка пересечения прямых
:
;
Координаты точки определим из условия, что т.
Есть середина отрезка
:
;
Координаты точки определим из условия, что т.
Есть середина отрезка
:
.
Задача 11
Пусть - искомая плоскость;
Рассм. норм. вектор ;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 12
Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей:
.
Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой
:
;
Рассм. ; определим какую-либо точку
;
Рассм. Положим
, тогда
; запишем канонические ур-я прямой
Как ур-я прямой, проходящей через т.
параллельно вектору
:
;
Параметрические ур-я прямой :
Задача 13
Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки
На плоскость
.
Пусть т. - искомое основание перпендикуляра и
- искомый перпендикуляр к плоскости
;
В качестве направл. вектора прямой возьмём нормальный вектор плоскости
:
и запишем канонические ур-я прямой
Как ур-я прямой, проходящей через
т. А параллельно вектору :
;
Параметрические ур-я прямой :
Определим координаты т. как точки пересечения прямой
с плоскостью
:
;
.
Задача 16 Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .
Перейдём к полярным координатам по формулам:
Уравнение кривой Примет вид:
Задача 17
1) вычисление определителя 3-го порядка: .
A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б) разложение по 1-ому столбцу:
;
2)вычисление определителя 4-го порядка:
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме:
, (1) , где
;
;
;
Рассм. опред-ль матрицы :
,
след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр.
;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: ,
,
,
Где ,
;
;
;
,
,
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
Вектор–решение с-мы (1): ;
2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след.,
Матр.- невырожденная и существует обратная матр.
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу :
,
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
; транспонируем м-цу
и получим
«присоединённую» м-цу ;
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль
и получим обратную матр.
:
;
Находим теперь вектор-решение :
;
3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
;
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
Имеем ;
Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й несовместна.
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: ,
где матрицы и вектор - столбцы
имеют вид:
;
Рассм. ; Вычислим матрицу
.
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
Ранг матрицы R(A)=4 , след. данная система векторов линейно независима.
Задача 23
Задан многочлен ;
А) найти корни многочлена;
Б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) ; разделим
На
:
Рассм. теперь ур – е ;
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .
;
;
, - парабола с вершиной в точке
.
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
;
;
;
;
;
Перейдём к новым координатам по формулам: ;
, - гиперболический цилиндр.
Задача 26
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
;
- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм. ;
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
Б) рассм. ;
Пусть , тогда вектор
;
В) рассм. ;
Рассм.
Пусть , тогда
,
вектор
;
След., собств. векторы линейного преобразования суть:
;
;
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|