Вариант № 09

Задача 1(см. рис. 1)

Рассм.

Задача 2

Пусть , т. е. ; след., вектор .

Задача 3

Вычислим

Задача 4

Вект. ; рассм. ;

Вычислим ; ; .

Задача 5

Вычислить косинус угла, образованного векторами и .

Определим из равенства: ;

Вычислим , след., , т. е. и .

Задача 6

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 7

Рассм. вектор ;

По условию задачи , т. е. , откуда определим

Задача 8

Лежат ли точки в одной плоскости?

Рассмотрим векторы И рассмотрим смешанное

Произведение , след.

Векторы Не компланарны и, след., точки не лежат в одной плоскости.

Задача 9

Найти точку , симметричную точке Относительно прямой .

Рассмотрим один из нормальных векторов прямой ; его можно взять в качестве направляющего вектора прямой и записать уравнение прямой в виде:

или определим координаты точки пересечения прямых И : ;

Определим теперь координаты искомой точки из условия, что т. есть середина отрезка :

.

Задача 10

1) составим ур-я диагоналей квадрата как ур-я прямых на пл-ти , проходящих через

Т. И составляющих угол со стороной ( ),

Т. е. прямых, для которых вып-ся след. соотношения:

А) рассм. случай

;

Б) рассм. случай

;

2) определим координаты вершин квадрата:

Т.- точка пересечения прямых : ;

Т.- точка пересечения прямых : ;

Координаты точки определим из условия, что т.Есть середина отрезка :

;

Координаты точки определим из условия, что т.Есть середина отрезка :

.

Задача 11

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , если

.

Рассмотрим вектор И возьмём его в качестве нормального вектора искомой

Плоскости : ; составим уравнение плоскости :

или

Задача 12

Рассм. в-р рассм. в-р ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

1)определим т. пересечения прямой с координатной плоскостью :

;

2)определим т. пересечения прямой с координатной плоскостью :

;

3)определим т. пересечения прямой с координатной плоскостью :

.

Задача 13

Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость .

Пусть т. - искомое основание перпендикуляра и - искомый перпендикуляр к плоскости ;

В качестве направл. вектора прямой возьмём нормальный вектор плоскости : и запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через

т. А параллельно вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Определим координаты т. как точки пересечения прямой с плоскостью :

;

.

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам:

Уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1) вычисление определителя 3-го порядка:

A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б) разложение по 3-й строке:

;

2)вычисление определителя 4-го порядка:

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную

матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , ,

Где ,

;

;

;

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. : , след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ; умножим рав-во (1) слева на матрицу :

, ; вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр.

Находим теперь вектор-решение :

3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

; решение системы в коорд. форме:

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

; имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет единственное решение. Для получения решения приведём матрицу к диагональному виду:

решение данной системы ур-й:

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ; вычислим матрицу

.

Задача 21 Вычислим ранг системы векторов , методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы R(A)= 4 , след. данная система векторов линейно независима

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

.

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .

; ;

, - парабола с вершиной в точке .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

;

;

;; ;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - двуполостный гиперболоид.

Задача 26

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

; рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм.

;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

В) рассм.

;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >