Вариант № 11
Задача 1(см. рис. 1)
1) 2)
Задача 2
Пусть , т. е.
;
след., вектор
.
Задача 3
Угол между векторами
Определим из равенства:
;
Вычислим
;
Рассм. ;
;
;
.
Задача 4
Рассм. векторы ;
;
Вычислим
;
;
.
Задача 5
Определить, при каком векторы
будут взаимно перпендикулярными.
; рассм.
.
Задача 6
1) , где
;
;
;
2) ; Направл. косинусы вектора
:
;
;
.
Задача 7
Рассм. векторы ;
, след. ,
- параллелограмм (так как у него противоположные стороны
параллельны и равны); рассм. вектор
;
;
Вычислим ;
.
Задача 8
Рассм. векторы и рассм. смешанное произведение
, след. векторы
не компланарны и след. точки
не лежат в одной плоскости.
Задача 9
Рассмотрим один из направляющих векторов медианы
; рассм.
И рассм. один из направляющих векторов высоты
:
(т. к.
);
Определим угол между векторами
из равенства:
;
Вычислим
; искомый острый угол между прямыми
Равен
.
Задача 10
Пусть - вершина ромба, лежащая на пересечении прямых
;
;
Возможны два положения противоположной вершины ромба: (так как длина диагонали
равна 12);
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке их пересечения делятся пополам, след., возможные положения центра симметрии ромба суть (середина отрезка
) и
(середина отрезка
), а диагонали
перпендикулярны прямой
, т. е. параллельны оси
; уравнения диагоналей
Координаты вершин определим как координаты точек пересечения прямой
с диагоналями
:
;
;
Координаты вершин определим из условия, что т.
- середина отрезка
, а т.
- середина отрезка
:
;
;
Площади ромбов равны:
;
; Задача имеет два решения.
Задача 11
Пусть - искомая плоскость; рассм. вектор
;
Рассм. норм. вектор ;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 12
Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей:
.
Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой
:
;
Определим какую-либо точку ; рассм.
Положим , тогда
;
Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т.
параллельно вектору
:
; Параметрические ур-я прямой
:
Задача 13
Найти проекцию точки на прямую
, заданную как пересечение двух плоскостей:
.
Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой
:
;
Определим какую-либо точку ; рассм.
Положим , тогда
;
Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т.
параллельно
вектору :
;
Параметрические ур-я прямой :
Рассм. плоскость , проходящую через точку
перпендикулярно прямой
:
;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
,
Т. е.
Найдём теперь искомую проекцию точки
на прямую
как точку пересечения плоскости
и прямой
:
;
.
Задача 16
Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .
Перейдём к полярным координатам по формулам:
Уравнение кривой Примет вид:
Задача 17
1) вычисление определителя 3-го порядка:
A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б) разложение по 2-му столбцу:
;
2)вычисление определителя 4-го порядка:
.
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме:
, (1) , где
;
;
;
Рассм. опред-ль матрицы :
, след. матр.
- невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр.
;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: ,
,
,
Где ,
;
;
,
,
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
Вектор–решение с-мы (1): ;
2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр.
; умножим
Рав-во (1) слева на матрицу :
,
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
транспонируем м-цу
и получим «присоединённую» м-цу
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль
и получим обратную матр.
:
;
Находим теперь вектор-решение :
;
3)решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
Имеем ; так как
, то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как
, то система имеет единственное решение; получим решение данной системы, приведя её расширенную матрицу к диагональному виду:
;
решение системы уравнений в коорд. форме:
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы
и вектор - столбцы
имеют вид:
;
Рассм. ; вычислим матрицу
.
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
;
Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.
Задача 23
Задан многочлен ;
А) найти корни многочлена;
Б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) ; разделим
На
:
Рассм. теперь ур – е ;
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .
;
;
, - парабола с вершиной в точке
.
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
;
;
;
;
Перейдём к новым координатам по формулам: ;
, - однополостный гиперболоид.
Задача 26 .
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
;
- собств. значения (действ. и различные ) линейного преобразования
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм. ;
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
Б) рассм.
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
В) рассм.
;
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
След. собств. векторы линейного преобразования суть:
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|