Вариант № 02

Задача 1(см. рис. 1)

1)

2)

Задача 2

Пусть , т. е. ;

след., вектор .

Задача 3

.

Задача 4

Вект. ; ;

Вычислим ; ; .

Задача 5

Рассм. векторы и ;

По усл-ю задачи , т. е. ;

; ; .

Задача 6

1) , где ; ;

; ;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 7

Дано: ABCD и ACED – параллелограммы;

Определить .

; рассм. ;

; .

Задача 8

; рассм.

Ответ: векторы Компланарны При .

Задача 9

Возьмём в качестве направл. вектора искомой прямой в-р ;

Теперь запишем ур-е прямой , как прямой, проходящей через Параллельно вектору : или .

Задача 10

1) Опред. коорд. т. М пересечения диагоналей квадрата , решив с-му ур-й :

;

2) Опред. коорд. вершины С квадрата из условия, что т. М - середина отрезка :

3) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. А : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю

( ), т. е. прямые, для которых вып-ся след. соотношения:

А) рассм. случай

Б) рассм. случай

4) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. С : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю т. е. прямые с угловыми коэф-тами

Задача 11

Дано: пл-ть ; ; ; (см. рис). Составить ур-е пл-ти .

Рассм. И рассм. вектор ;

В-р , след., , т. е. ;

Задача 12

А) рассм. в-р

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Б) Рассм. в-р

канонические ур-я прямой : .

Задача 13

Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую И т..

Направл. в-р прямой есть ;

Рассм. И рассм. вектор ;

Вект. произв-е Будет нормальным вектором искомой плоскости :

Вычислим ;

Теперь запишем ур-е пл-ти Как пл-ти, проходящей через т. перпендикулярно вектору : Рассм. произв. т. И рассм. вектор ;

,

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам: уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1)непосредственное вычисление:

2)разложение по 2-й строке:

;

3)вычисление определителя 4-го порядка:

.

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) ,

Где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

След. матр.- невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр.

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , ,

Где ,

;

;

;

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

;

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

; Находим теперь вектор-решение :

;

3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

;

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет единственное решение;

Выпишем решение системы в коорд. форме:

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

;

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет единственное решение;

Выпишем решение системы в коорд. форме:

;

решение данной системы ур-й:

Задача 20 Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ; вычислим матрицу

.

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

.

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .

;

;

; , - эллипс с центром в точке и

Полуосями .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

;

; ;

; ;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - эллиптический цилиндр.

Задача 26

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

В) рассм.

;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >