Вариант № 01

Задача 1 (см. рис. 1) - правильный шестиугольник, причём Выразить через векторы

Рассм. .

Задача 2 Разложить вектор По векторам И .

Пусть

След. вектор .

Задача 3 Найти , Если

.

Задача 4 Вычислить проекцию вектора На ось Вектора , Если

Вект.

Вычислим

Задача 5 Дано: Найти, при каком векторы Будут взаимно перпендикулярны.

Рассм. векторы и ; по усл-ю задачи,

Т. е.;;

Задача 6 Найти момент силы , приложенной в точке относительно точки , а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ;

2) ; направл. косинусы вектора

Задача 7 Вычислить , Если

Рассм. векторное произведение векторов

;

.

Задача 8 При каком векторы будут компланарны?

;

Рассм.

Ответ: векторы Компланарны При

Задача 9 Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой, соединяющей точки

Рассм. в-р ;

Ур-е прямой проходящей через Параллельно в-ру , можно записать в виде: (канонические ур-я прямой ) или в виде .

Задача 10 Составить уравнения сторон квадрата, если известны координаты вершины и уравнения

Диагоналей

1) Опред. коорд. т. М пересечения диагоналей квадрата , решив с-му ур-й :

;

2) Опред. коорд. вершины С квадрата из условия, что т. М - середина отрезка :

3) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. А : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю

(), т. е. прямые, для которых вып-ся

След. соотношения:

А) рассм. случай

Б) рассм. случай

4) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. С : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю т. е. прямые с угловыми коэф-тами

Задача 11 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор

Дано: пл-ть (см. рис). Составить ур-е пл-ти .

Рассм. И рассм. вектор ; в-р , след., ,

Т. е. ;

Задача 12 Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:

А) рассм. в-р

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Б) рассм. в-р

канонические ур-я прямой : .

Задача 13 Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую и т..

Направл. в-р прямой есть ;

Рассм. и рассм. вектор ;

Вект. произв-е будет нормальным вектором искомой плоскости

Вычислим ;

Теперь запишем ур-е пл-ти Как пл-ти, проходящей через т. перпендикулярно вектору

: рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е.

Задача 16 Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам: уравнение кривой Примет вид:

Задача 17 Вычислить определитель 3-го порядка по правилу треугольников и путём разложения по 1-й строке; вычислить определитель 4-го порядка.

1)

А) непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б) разложение по 1-й строке:

2) вычисление определителя 4-го порядка:

.

Задача 18 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где

Рассм. опред-ль матрицы : ,

След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычисл. обратную матр.

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

Где , ;

;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. : , след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ; умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. : находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

;

транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. ;

Находим теперь вектор-решение : ;

3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

Имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет единственное решение; выпишем решение системы в коорд. форме:

Задача 19 Исследовать систему линейных уравнений на совместность (найти ранг матриц ) и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет единственное решение; выпишем решение системы в коорд. форме:

решение данной системы ур-й:

Задача 20 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор-столбцы имеют вид:

Рассм. ;

Вычислим матрицу

Задача 21 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А); разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

.

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .

- эллипс с центром в точке и полуосями .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

;

; ;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - гиперболический параболоид.

Задача 26 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм. пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

В) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

Следующая >