Вариант № 03

Задача 1(см. рис. 1)

Задача 2

Пусть , т. е. ; след., вектор .

Задача 3 Вычислим

.

Задача 4

Вект. ; рассм. ;

Вычислим ; ; .

Задача 5

По условию, ,

Т. е. .

Задача 6

1) , где ; ;

; ;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 7

; рассм.

Задача 8

; рассм.

Задача 9

Рассм. в-р ;

Ур-е прямой , проходящей через Параллельно в-ру , можно

Записать в виде: (канонические ур-я прямой ) или в виде .

Задача 10

1) Опред. коорд. т. М пересечения диагоналей квадрата , решив с-му ур-й :

;

2) Опред. коорд. вершины С квадрата из условия, что т. М - середина отрезка :

3) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. А : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю

( ), т. е. прямые, для которых вып-ся след. соотношения:

А) рассм. случай

Б) рассм. случай

4) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. С : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю т. е. прямые с угловыми коэф-тами

Задача 11

Пусть - искомая плоскость;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

.

Задача 12

А)

Рассм. в-р

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Б) рассм. в-р

канонические ур-я прямой : .

Задача 13

Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую и т..

Запишем канонические ур-я прямой : направл. в-р прямой есть ; рассм. и рассм. вектор ;

Вект. произв-е Будет нормальным вектором искомой плоскости :

Вычислим ;

Теперь запишем ур-е пл-ти Как пл-ти, проходящей через т. перпендикулярно вектору : Рассм. произв. т. И рассм. вектор ;

,

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам:

Уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1)

A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б) разложение по 3-й строке:

;

2)Вычисление определителя 4-го порядка:

.

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) ,

Где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , ,

Где ,

;

;

;

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. : , след.,

Матр.- невырожденная и существует обратная матр. ; умножим рав-во (1) слева на

Матрицу : , ; Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим

«присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

; Находим теперь вектор-решение :

;

3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

; имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет единственное решение; выпишем решение системы в коорд. форме:

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

; Имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

;

общее решение данной системы ур-й:

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ; Вычислим матрицу

.

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

; ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

.

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением:

. ;

;

; , - эллипс с центром в точке и

Полуосями .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

;

;

;; ;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - конус с вершиной в точке .

Задача 26

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

В) рассм.

; рассм. Пусть , тогда , вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >