Вариант № 03
Задача 1(см. рис. 1)
Задача 2
Пусть , т. е.
;
след., вектор
.
Задача 3 Вычислим
.
Задача 4
Вект. ; рассм.
;
Вычислим
;
;
.
Задача 5
По условию, ,
Т. е. .
Задача 6
1) , где
;
;
;
;
2) ;
Направл. косинусы вектора :
;
;
.
Задача 7
; рассм.
Задача 8
; рассм.
Задача 9
Рассм. в-р ;
Ур-е прямой , проходящей через
Параллельно в-ру
, можно
Записать в виде: (канонические ур-я прямой
) или в виде
.
Задача 10
1) Опред. коорд. т. М пересечения диагоналей квадрата , решив с-му ур-й :
;
2) Опред. коорд. вершины С квадрата из условия, что т. М - середина отрезка :
3) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. А :
;
Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю
( ), т. е. прямые, для которых вып-ся след. соотношения:
А) рассм. случай
Б) рассм. случай
4) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. С :
;
Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю
т. е. прямые с угловыми коэф-тами
Задача 11
Пусть - искомая плоскость;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 12
А)
Рассм. в-р
Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно
Вектору :
;
Б) рассм. в-р
канонические ур-я прямой
:
.
Задача 13
Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую
и т.
.
Запишем канонические ур-я прямой :
направл. в-р прямой
есть
; рассм.
и рассм. вектор
;
Вект. произв-е Будет нормальным вектором искомой плоскости
:
Вычислим ;
Теперь запишем ур-е пл-ти Как пл-ти, проходящей через т.
перпендикулярно вектору
: Рассм. произв. т.
И рассм. вектор
;
,
Задача 16
Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .
Перейдём к полярным координатам по формулам:
Уравнение кривой Примет вид:
Задача 17
1)
A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б) разложение по 3-й строке:
;
2)Вычисление определителя 4-го порядка:
.
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) ,
Где ;
;
;
Рассм. опред-ль матрицы :
,
След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр.
;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: ,
,
,
Где ,
;
;
;
,
,
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
Вектор–решение с-мы (1): ;
2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след.,
Матр.- невырожденная и существует обратная матр.
; умножим рав-во (1) слева на
Матрицу :
,
; Вычислим обратную матр.
:
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
; транспонируем м-цу
и получим
«присоединённую» м-цу ;
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль
и получим обратную матр.
:
; Находим теперь вектор-решение
:
;
3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
; имеем
;
Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как
, то система имеет единственное решение; выпишем решение системы в коорд. форме:
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
; Имеем
;
Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как
, то система имеет бесконечное множество решений;
Объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в коорд. форме:
;
общее решение данной системы ур-й:
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы
и вектор - столбцы
имеют вид:
;
Рассм. ; Вычислим матрицу
.
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
; ранг матрицы
, след. данная система векторов линейно независима.
Задача 23
Задан многочлен ;
А) найти корни многочлена;
Б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) ; разделим
На
:
Рассм. теперь ур – е ;
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением:
.
;
;
;
, - эллипс с центром в точке
и
Полуосями .
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
;
;
;
;
Перейдём к новым координатам по формулам: ;
, - конус с вершиной в точке
.
Задача 26
.
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
;
- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм. ;
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
Б) рассм. ;
Рассм.
Пусть , тогда
,
вектор
;
В) рассм.
; рассм.
Пусть
, тогда
,
вектор
;
След., собств. векторы линейного преобразования суть:
;
;
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|