Вариант 15
Задача 1.Вычислить.
;
Решение.
Задача 2.Вычислить.
;
Решение.
Область 
является треугольной пирамидой с вершиной в точке О и определяется неравенствами 
Задача 3. Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
.
Решение.
Первое уравнение задает цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси 
. Два последних уравнения определяют гиперболические параболоиды.
Проекция тела на плоскость 
Ограничена параболой 
И прямой 
.
Точки пересечения параболы и прямой находим:
Следовательно, проекция тела на плоскость
Определяется неравенствами 
Объем тела 
равен:
Задача 4. Тело задано ограничивающими его поверхностями, 
- плотность. Найти массу тела.
.
Решение: Так как одна поверхность является сферой, есть смысл перейти к сферическим координатам: 
Поверхности можно записать в сферических координатах: 
Тогда тело : 
Масса тела
Задача 5. Найти объём тела, заданного неравенствами
Решение:
Введём сферические координаты:
В сферических координатах неравенства принимают вид:
Для области интегрирования по 
рассмотрим два случая:
1) 
2) 
Значит, имеем две области интегрирования:
1) 
2) 
Объем тела равен сумме тел по двум областям интегрирования:
