Вариант № 22

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак сравнения в предельной форме. Будем сравнивать данный ряд со сходящимся рядом :

. Ряд сходится, так как ряд с общим членом сходится при и расходится при . В данном случае . Следовательно, сходится и ряд . Ответ: Ряд сходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

,так как степень в знаменателе выше степени в числителе. Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Рассмотрим ряд . Применим признак д, Аламбера:

. Следовательно, рассматриваемый ряд сходится абсолютно. Ответ: Ряд сходится абсолютно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд , который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом (степень знаменателя больше единицы). Действительно, . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

6. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница, при получим числовой ряд , который сходится как ряд типа , где . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

7. Определить область сходимости функционального ряда: .

Заметим, что область определения членов ряда является множество . Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Из первого неравенства получим , из второго - . Сопоставляя с областью определениия ряда, находим, что ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , а при - ряд . Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости. Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известным разложением функции :

. Этот ряд сходится при . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении логарифмической функции положим , получим: Или . Ряд сходится при или .

Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . Подставим в этот ряд Тогда и . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой . Получим . Тогда . В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Следовательно, достаточно взять четыре первых слагаемых: . Ответ:

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Преобразуем предел

. Так как , то

Ответ: .

12. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при . Следовательно, . Ответ: .

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, .

Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Следовательно, . Тогда .

Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: , вторую сумму – в виде . Тогда . Объединим все суммы, выделяя «лишнее» слагаемое: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. и . Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . Воспользуемся начальными условиями: . Получим: . Таким образом, .

Ответ: .

16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Разложение функции в ряд Фурье имеет вид: . Вычислим коэффициенты : . Вычислим коэффициенты : . Таким образом, .

Ответ: .

17. Разложить функцию в ряд Фурье на :

Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье. Так как функция чётная, то все . Вычислим . . Из таблиц находим (при ): . Следовательно, если чётное и , если нечётное. Положим . Тогда нечётным значениям соответствуют числа . Таким образом, . Ответ: .

18. Найти разложение функции ряд Фурье в комплексной форме на : .

В комплексной форме ряд Фурье функции периода имеет вид: где . В данном случае . Таким образом, . Ответ: .

19. Функцию представить интегралом Фурье в действительной форме:

Представление функции интегралом Фурье в действительной форме имеет вид , где . Заданная функция является нечётной и, следовательно, . Таким образом, .