Вариант № 20

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Так как , то . Но ряд с общим членом сходится, так как является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Следовательно, сходится и исследуемый ряд в соответствии с первым признаком сравнения.

Ответ: Ряд сходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

.Следовательно, данный ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

. Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Исходный ряд является знакочередующимся рядом и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Действительно, по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают, а общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю. Рассмотрим ряд . Очевидно, что . Но ряд с общим членом сходится, так как степень в знаменателе больше единицы. Следовательно, по первому признаку сравнения сходится и ряд с общим членом . Ответ: Ряд сходится абсолютно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : (Предел

находится по правилу Лопиталя). Ряд сходится, если вычисленный предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд , который расходится по интегральному признаку Коши: . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

6. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд . Этот ряд сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд . Этот ряд расходится по признаку сравнения с расходящимся рядом (степень в знаменателе меньше единицы). Ответ: Областью сходимости ряда является множество

7. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд . Этот ряд сходится абсолютно, так как в знаменателе степень N больше единицы, т. е. сходится и исходный ряд при . Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известным разложением функции :

. Этот ряд сходится при . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении логарифмической функции положим , получим: Или . Ряд сходится при или .

Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . Получим: .. Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой . Положим Получим . Тогда

. В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Следовательно, достаточно взять три первых слагаемых: . Ответ: .

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как , то

. Ответ: .

12. Найти сумму ряда:.

Преобразуем ряд: .

Но . Это суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, . Ответ: .

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, .

Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Следовательно, . Таким образом, .

Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Следовательно, . Таким образом, .

Ответ: .

16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Функция является чётной. Поэтому в её разложении в ряд Фурье все коэффициенты . Вычислим коэффициенты : . Таким образом, . Ответ: .

17. Разложить функцию в ряд Фурье на :

Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье. Так как функция нечётная, то все , . Таким образом,

. Ответ: .

30. Найти разложение функции ряд Фурье в комплексной форме на : .

В комплексной форме ряд Фурье функции периода имеет вид: где . В данном случае . Таким образом, . Ответ: .

31. Функцию представить интегралом Фурье в действительной форме:

.

Представление функции интегралом Фурье в действительной форме имеет вид , где . Функция является нечётной, поэтому и , найдём : . Таким образом, .

Ответ: .

32. Функцию представить интегралом Фурье в комплексной форме:

.

Представление функции интегралом Фурье в комплексной форме имеет вид , где . Вычислим : . Таким образом, . Ответ:

< Предыдущая		Следующая >