Вариант № 19

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Так как , то имеем знакочередующийся числовой ряд , который удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница: . Следовательно, ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Исходный ряд является знакочередующимся рядом и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Действительно, по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают, а общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю. Рассмотрим ряд . Заметим, что , так как . Но гармонический ряд расходится. Следовательно, расходится и ряд по первому признаку сравнения, т. е. абсолютной сходимости исходного ряда нет. Ответ: Ряд сходится условно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд , который расходится по признаку сравнения в предельной форме с расходящимся гармоническим рядом . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

6. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , а при - числовой ряд . Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости. Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

7. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд . Оба ряда расходятся, так как , а ряд расходится (степень в знаменателе меньше единицы). Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известным разложением функции :

. Этот ряд сходится на всей числовой оси: . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении экспоненциальной функции положим , получим: Или . Ряд сходится при.

Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Преобразуем функцию: Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . При получим ряд . Положим, далее, , получим . Следовательно, . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой . Получим . Тогда

. В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Следовательно, достаточно взять три первых слагаемых: . Ответ: .

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как , то

. Ответ: .

12. Найти сумму ряда:.

Пусть сумма ряда. Преобразуем ряд: . Так как , то и .

Следовательно, . Ответ: .

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, . Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Следовательно, . Таким образом, .

Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , ( остальные слагаемые в в точке равны нулю). Следовательно, . Таким образом, . Ответ: .

16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Разложение в функции в ряд Фурье имеет вид: . Вычислим коэффициенты : . Таким образом, , если нечётное и , если чётное. Положим . Тогда для чётных получим Вычислим : . Таким образом, . Ответ: .