Вариант № 16
1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .
Заметим, что . Поэтому
. Но гармонический ряд
расходится, следовательно, расходится и исследуемый ряд по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд расходится.
2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .
Применим признак д, Аламбера:
. Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.
3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .
Имеем . Функция
удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно,
монотонно убывает на
и, следовательно, интеграл
и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем
. Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.
4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .
Так как , то
. Но ряд
, поскольку сходится любой ряд вида
,
. Следовательно, по первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд, причём сходится абсолютно. Ответ: Ряд сходится абсолютно.
5. Определить область сходимости функционального ряда: .
Применим признак д, Аламбера к ряду :
. Последний предел равен 1, т. е. отношению коэффициентов при старшей степени аргумента. Ряд сходится, если предел будет меньше единицы:
, т. е.
. Или
. Следовательно, интервал
является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При
получим знакочередующийся числовой ряд
, который сходится по признаку Лейбница. При
получим числовой ряд
, который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом
(степень знаменателя больше единицы). Действительно,
. Ответ: Областью сходимости ряда является множество
6. Определить область сходимости функционального ряда: .
Применим признак д, Аламбера к этому ряду:
(последний предел равен 1, т. е. отношению коэффициентов при старшей степени аргумента). Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы:
, т. е.
или
. Следовательно, ряд сходится при
и
. Исследуем ряд на концах интервала. При
и
Получим один и тот же числовой ряд
, Этот ряд расходится, так как
(здесь использована эквивалентность
). Ряд
расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости. поэтому расходится и ряд
. Ответ: Областью сходимости ряда является множество
7. Определить область сходимости функционального ряда: .
Применим признак д, Аламбера к ряду :
. Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы:
, т. е.
или
. Следовательно, ряд сходится при
. Исследуем ряд на концах интервала. При
получим знакочередующийся числовой ряд
, который сходится по признаку Лейбница. При
получим числовой ряд
, который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом
(последний сходится, так как степень в знаменателе больше единицы. Ответ: Областью сходимости ряда является множество
, где
.
8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости:
.
Функция представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
, при условии
,
- знаменатель прогрессии. Преобразуем данную функцию:
. Положим
. Получим:
. Этот ряд будет бесконечно убывающей прогрессией, если только
, или
. Очевидно, что на концах этого интервала ряд расходится. Следовательно, областью сходимости ряда будет область
. Ответ:
.
9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости:
.
Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена:
. Этот ряд сходится при
. Тогда
. Областью сходимости ряда будет
. Ответ:
,
.
10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .
Воспользуемся формулой . Положим здесь
. Получим
. Тогда
. В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем
. В данном случае
. Очевидно, что
. Следовательно, достаточно взять два первых слагаемых:
. Ответ:
.
11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .
Так как и
, то
. Ответ:
.
12. Найти сумму ряда:.
Обозначим сумму ряда через . Преобразуем ряд:
. Так как
и
, то
.
Ответ: .
13. Найти сумму ряда:.
Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда
. Но
есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при
. Следовательно,
.
Ответ: .
14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:
Будем искать решение уравнения в виде . Тогда
. Подставляя это в исходное уравнение, получим:
. Первую сумму можно записать в следующем виде:
. Вторую сумму в уравнении можно записать виде:
. Тогда
. Объединим обе суммы, выделяя «лишнее» слагаемое:
. Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е.
и
. Отсюда получаем рекуррентную формулу:
Кроме того, в соответствии с начальными условиями
Следовательно,
. Очевидно, что
и
Таким образом,
.
Ответ: .
15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:
Ищем решение уравнения в виде . Тогда
. Подставляя это в исходное уравнение, получим:
. Первую сумму можно записать в следующем виде:
, вторую сумму – в виде
. Тогда
. Объединим все суммы, выделяя «лишние» слагаемые:
. Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е.
и
. Отсюда получаем рекуррентную формулу:
Следовательно,
. В соответствии с начальными условиями
и
. Тогда
. Таким образом,
.
Ответ: .
18. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:
По графику определяем
.
Функция является чётной. Поэтому в её разложении в ряд Фурье
все коэффициенты
. Вычислим коэффициенты
:
. Следовательно,
, если
чётное и
, если
нечётное. Положим
. Тогда для нечётных
получим
Таким образом,
. Ответ:
.
19. Разложить функцию в ряд Фурье на :
Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье. Так как функция нечётная, то все
,
. Таким образом,
. Ответ:
.
21. Найти разложение функции ряд Фурье в комплексной форме на :
.
В комплексной форме ряд Фурье функции периода
имеет вид:
где
. В данном случае
. Таким образом,
. Ответ:
.
22. Функцию представить интегралом Фурье в действительной форме:
.
Представление функции интегралом Фурье в действительной форме имеет вид , где
. Функция является чётной, поэтому и
, найдём
:
. Таким образом,
.
Ответ: .
23. Функцию представить интегралом Фурье в комплексной форме:
.
Представление функции интегралом Фурье в комплексной форме имеет вид , где
. Вычислим
:
. Таким образом,
. Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|