Вариант № 15

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Заметим, что . Ряд сходится, так как ряд с общим членом сходится при и расходится при .В данном случае . Следовательно, сходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд сходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

. Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если эти степени одинаковы. Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Исходный ряд сходится, так как является знакочередующимся рядом и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Действительно, по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают, а общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю. Рассмотрим ряд . Он расходится по первому признаку сравнения с гармоническим рядом. Действительно: , а ряд с общим членом является гармоническим рядом без первого члена. Таким образом, абсолютной сходимости исходного ряда нет. Ответ: Ряд сходится условно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд , который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом (степень знаменателя больше единицы). Действительно, . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

6. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к данному ряду: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При и Получим один и тот же числовой гармонический ряд , который расходится. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

7. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим один и тот же числовой ряд , который расходится по признаку сравнения с рядом (последний расходится, так как степень в знаменателе меньше единицы.. Ответ: Областью сходимости ряда является множество , где .

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известным разложением функции :

. Этот ряд сходится при . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении логарифмической функции положим , получим: Или . Ряд сходится при или .

Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Преобразуем данную функцию: . Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена:

. Этот ряд сходится при условии . В этот ряд подставим , получим: . Тогда . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , . (Ошибка в ответе в знаке!)

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой . Получим . Тогда

. В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Следовательно, достаточно взять три первых слагаемых: . Ответ: .

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как , то Кроме того, . Следовательно,

. Ответ: .

12. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через . Преобразуем ряд: . Так как , то , . Следовательно, . Ответ: .

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, . Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : ( остальные слагаемые в в точке равны нулю).. Следовательно, . Таким образом, . Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : . Следовательно, . Таким образом, .

Ответ: .

16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Функция является чётной. Поэтому в её разложении в ряд Фурье все коэффициенты . Вычислим коэффициенты : . Следовательно, , если чётное и , если нечётное. Положим . Тогда для нечётных получим Таким образом, . Ответ: .