Вариант № 14

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Так как , то . Ряд сходится, так как ряд с общим членом сходится при и расходится при .В данном случае . Следовательно, сходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд сходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если эти степени одинаковы. Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Исходный ряд является знакочередующимся рядом и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Действительно, по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают, а общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю. Рассмотрим ряд . Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл расходится, следовательно, расходится и рассматриваемый ряд, т. е. абсолютной сходимости исходного ряда нет. Ответ: Ряд сходится условно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: .

Для сходимости ряда необходимо, чтобы . Это возможно тогда, когда . Но в таком случае . Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд , который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом (степень знаменателя больше единицы). Действительно, . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

6. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , при получим числовой ряд . Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости: . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

7. Определить область сходимости функционального ряда: .

Поскольку всегда , то достаточно рассмотреть ряд с положительными членами. Применим признак д, Аламбера: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд . Здесь многократно учтено, что . Этот ряд сходится условно по признаку Лейбница. Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известным разложением функции :

. Этот ряд сходится на всей числовой оси: . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении экспоненциальной функции положим , получим: Или . Ряд сходится при.

Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Преобразуем данную функцию: . Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена:

. Этот ряд сходится при условии . В этот ряд подставим , получим: . Тогда . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой . Получим . Тогда

. В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Следовательно, достаточно взять три первых слагаемых: . Ответ:

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Известно, что . Так как , то .. Следовательно,

Ответ: .

12. Найти сумму ряда:.

Преобразуем ряд: . Но , т. е. это разложение в ряд функции без двух первых членов. Следовательно, . Ответ: .

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно,

. Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Таким образом, . Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: , вторую сумму – в виде . Тогда . Объединим все суммы, выделяя «лишние» слагаемые: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. и . Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . Выразим все коэффициенты через и . Получим: . Таким образом, . Положим и .

Ответ: .

16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Функция является нечётной. Поэтому в разложении функции в ряд Фурье все коэффициенты . Вычислим коэффициенты : . Если чётное, то и , если нечётное. Положим . Для нечётных получим Таким образом, .