Вариант № 13

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Заметим, что . Ряд Сходится, так как является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Следовательно, сходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд сходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

.

Следовательно данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Рассмотрим ряд . Заметим, что , но гармонический ряд расходится, следовательно, расходится и рассматриваемый ряд, т. е. абсолютной сходимости исходного ряда нет. Исходный ряд является знакочередующимся рядом и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Действительно, по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают, а общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю. Следовательно, исходный ряд сходится условно. Ответ: Ряд сходится условно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: .

Для сходимости ряда необходимо, чтобы . Это возможно тогда, когда . Но в таком случае . Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , а при получим числовой ряд . Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , при получим числовой ряд . Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Поскольку всегда , то достаточно рассмотреть ряд с положительными членами. Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , при получим числовой ряд . Оба ряда расходятся по признаку сравнения с расходящимся рядом (известно, что ). Ответ: Областью сходимости ряда является множество

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Известно, что . Функция представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , при условии , - знаменатель прогрессии. Положим . Получим ряд: . Тогда . Этот ряд будет бесконечно убывающей прогрессией, если только , или . Очевидно, что на концах этого интервала ряд расходится. Следовательно, областью сходимости ряда будет область . Ответ: .

Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Преобразуем функцию: . Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . Подставим в этот ряд . Тогда . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой . Положим здесь . Получим .

Тогда

. В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Следовательно, достаточно взять два первых слагаемых: . Ответ:

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Преобразуем предел

. Так как , то

. Ответ:.

Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X): . Ряд сходится при . Проинтегрируем ряд дважды: . Но есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при . Следовательно, . Ответ: .

Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда

. Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, . Ответ: .

Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные :

. Следовательно, . Таким образом, . Ответ: .

Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : . Следовательно, . Или: .

Ответ: .

Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Функция является нечётной. Поэтому в разложении функции в ряд Фурье все коэффициенты . Вычислим коэффициенты : . Таким образом, . Ответ: .

Разложить функцию в ряд Фурье на :

Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье. Так как функция чётная, то все , . Из таблиц находим (при ): . Таким образом,

. Ответ: .

18. Найти разложение функции ряд Фурье в комплексной форме на : .

В комплексной форме ряд Фурье функции периода имеет вид: где . В данном случае . Таким образом, . Ответ: .

19. Функцию представить интегралом Фурье в действительной форме:

.

Представление функции интегралом Фурье имеет вид , где . Вычисляем функции и : . . Тогда

.

Ответ: .

20. Функцию представить интегралом Фурье в комплексной форме:

.

Представление функции интегралом Фурье в комплексной форме имеет вид , где . Вычислим : . Таким образом, .

Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >